数学-第二集-论二元一次方程的解法

上次我们讲了一元一次方程,这次我们来讲简单二元一次方程的解法。

二元一次方程,从字义上看,就是含有两个未知数的一次方程。相对于一元一次方程,它要难一些,但是如果掌握了解二元一次方程的技巧,那么它也不难。二元一次方程一般的有两个式子。(除非是不定方程)

二元一次方程一般有两种解法:一是加减消元法,二是代入消元法。

我们先来看一道例题。

例1:\lceil 3x+4y=16   (1)

        5x-6y=33   (2)

  解:(一)代入消元法

            x=\frac{16-4y}{3} (3)

把(3)式代入(2)式:5\times \frac{16-4y}{3} -6y=33

                                        \frac{80-20y-18y}{3}=33

                                        80-38y=99

                                        -38y=19

                                         y=-\frac{1}{2}

y=-\frac{1}{2} 代入(3)式:x=\frac{16-4\times (-\frac{1}{2}) }{3}

                                             x=6

所以原方程组的解为{x=6,y=-\frac{1}{2} }.

可以看出,代入消元法比较繁琐,计算量也比较大,即通过任意一个式子得出x或y,再代入另一个式子。

下面介绍另一种方法——加减消元法。

(二)加减消元法

   解:(1)\times  3:   9x+12y=48(3)

               (2)\times 2:10x-12y=66(4)

                (3)+(4):19x=114

                                            x=6

        把x=6代入(1)式:3\times 6+4y=16

                                                                    4y=-2

                                                                      y=-\frac{1}{2}

从上可见,加减消元法确实比代入消元法简便许多。

所以二元一次方程只要掌握了它解题的技巧,即可迅速求解。

下一次我们会讲到一元一次不等式,将与二元一次方程结合起来,变为含参二元一次方程。这个知识点我们下次会讲到。

较难的二元一次方程的解法

较难的二元一次方程,即未知数在分数中,与一元一次方程(难)类似。解法也与一元方程类似。即先去分母,再俺一般的二元一次方程的方法求解。这里介绍一种特别的方法。

例2:解方程组:\frac{3x+y}{3}+\frac{4x+2y}{5} =4 (1)

                        \frac{x+3y}{5}+ \frac{2x+4y}{14}=3 (2)

解:(1)\times 15:5(3x+y)+3(4x+2y)=60

            15x+5y+12x+6y=60

            27x+11y=60(3)

        (2)\times 70:14(x+3y)+5(2x+4y)=210

                            14x+42y+10x+20y=210

                            24x+62y=210

                            12x+31y=105(4)

            {27x+11y=60(5)

            {12x+31y=105(6)

        x=\frac{60-11y}{27} (7)

        把(7)式代入(4)式:\frac{240-44y}{9} +31y=105

                                                            \frac{240-44y+279y}{9}=105

                                                            240+235y=945

                                                            y=(945-240)\div 235

                                                            y=3

          把y=3代入(7)式:x=\frac{60-11\times 3}{27}

                                                        x=1

所以原方程的解为{x=1,y=3}

通过上面的学习,相信你已经对二元一次方程组的解法熟悉了。下面就让我们来练习几道题吧 !

习题

1.解方程\frac{3x-2}{4}+\frac{2y-1}{5}  =2

                \frac{3x+2}{4} -\frac{3y+1}{5} =0

2.若xy的值满足方程组323x+457y=1103

                                    177x+543y=897

    求x^4+4x^2y^2+5y^4的值。

3.挑战

    解方程

    2x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=6

    x_{1}+2x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=12

    x_{1}+x_{2}+2x_{3}+x_{4}+x_{5}=24

     x_{1}+x_{2}+x_{3}+2x_{4}+x_{5}=48

     x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+2x_{5}=96

    求(4x_{4}-3)\div x_{5}的值

答案:

1.x=2,y=3  2.   37             3.\frac{1}{2}

本文到此结束,望继续关注下一集!

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