均值-方差投资组合模型（简称 MV 模型)

符号说明：

假设 $R_{i}$ 表示第 $i$ 种风险资产的收益率（随机变量)

其均值 $r_{i}=E\left(R_{i}\right.$ )

协方差矩阵为 $G=\left(\sigma_{i j}\right)_{n \times n}, \sigma_{i j}=\operatorname{COV}\left(R_{i}, R_{j}\right), i, j=1,2, \ldots, n$

$x_{i}$ 表示第 $i$ 种风险资产的投资比例, $i=1,2, \ldots, n$

记 $R=\left(R_{1}, R_{2}, \ldots, R_{n}\right)^{\mathrm{T}}, r=\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right)^{\mathrm{T}}, x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)^{\mathrm{T}}$ （投资组合的比例向量）, $e$ 表示分量全为 1 的 $n$ 维列向量

约束:投资比例权重和为1

$x_{i}$ 表示第 $i$ 种风险资产的投资比例, $i=1,2, \ldots, n$ 。并记 $e$ 表示分量全为 1 的 $n$ 维列向量 $R=\left(R_{1}, R_{2}, \ldots, R_{n}\right)^{\mathrm{T}}, r=\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right)^{\mathrm{T}}, x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)^{\mathrm{T}}$
$\sum_{i=1}^{n} x_{i}=1$
或者
$e^{\mathrm{T}} x=1$

投资组合达期望收益率

$r_{p}=r^{\mathrm{T}} x$

投资组合方差

$\sigma_{p}^{2}=x^{\mathrm{T}} G x$

一定收益率水平下使投资组合的风险最小（方差最小）

==在满足投资者的期望收益率为一个常数 $r_{0}$ == 、各资产投资比例之和为1，且投资比例非负等约束条件下, 投资组合的方差(风险) 最小
$\begin{aligned} &\min x^{\mathrm{T}} G x / 2 \\ &\text { s.t }\left\{\begin{array}{l} r^{T} x=r_{0} \\ e^{T} x=1 \\ x \geq 0 \end{array}\right. \end{aligned}$
其中 $x_{i}$ 表示第 $i$ 种风险资产的投资比例, $R_{i}$ 表示第 $i$ 种风险资产的收益率（随机变量)，均值 $r_{i}=E\left(R_{i}\right.$ )，协方差矩阵 $G=\left(\sigma_{i j}\right)_{n \times n}, \sigma_{i j}=\operatorname{COV}\left(R_{i}, R_{j}\right), i, j=1,2, \ldots, n$ . $r^{T} x$ 表示投资组合的期望收益率

一定风险水平下取得最大可能的预期收益率（收益最大化）

==在满足投资者的方差为一个常数 $\sigma_{0}^{2}$ == 、各资产投资比例之和为 1 且投资比例非负等约束条件下, 投资组合的期望收益率最大。
$\begin{aligned} &\max r(x)=r^{T} x \\ &\text { s.t }\left\{\begin{array}{l} x^{T} G x=\sigma_{0}^{2} \\ e^{T} x=1 \\ x \geq 0 \end{array}\right. \end{aligned}$
参考文献：

[1]张鹏. 可计算的投资组合模型与优化方法研究[D].华中科技大学,2006.

可计算的投资组合模型与优化方法研究 - 中国知网 (cnki.net)

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均值-方差投资组合模型（简称 MV 模型)