贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件概率（或边缘概率）的一则定理。其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。
贝叶斯是个大神，贝叶斯原理源于他生前为解决一个“逆概”问题写的一篇文章。什么是“逆概”问题？“逆概”是相对于“正向概率”来说的概念。正向概率的例子是如果袋子里面有10个球，5个黑球，5个白球，那么从袋子里面拿出来一个球，是黑球的概率是多少，可以算出来是1/2。这个就是正向概率，正向概率有一个前提就是我们对袋子里面的情况已经全部掌握了，就是我们可以准确的知道未来。然而现实生活是你经常不知道袋子里面有多少个球（不确定性），更不知道多少个黑球，多少个白球，现实问题是袋子里面可能有无限多个球，除了黑球、白球之外还会有你之前都没见过的球（这就是黑天鹅），不管拿出来多少黑球白球，我们都无法排除黑球白球之外还有别的黑天鹅球的可能性。“逆概”的问题就是问我们在这样的情况下，下一次拿出来黑球的概率是多少？比如前面拿出来了6个黑球，4个白球，那么下一次拿出黑球的比例是多少？逆概问题好像和目前的“大数据”、“人工智能”问题很像，我们都是要基于目前已知的知识来获取对未来的预测。贝叶斯作为人工智能核心算法之一，这背后的深刻原因在于，现实世界本身就是不确定的，人类的观察能力是有局限性的。
一、第一个例子学习
一所学校里面有 60% 的男生，40% 的女生。男生总是穿长裤，女生则一半穿长裤一半穿裙子。有了这些信息之后我们可以容易地计算“随机选取一个学生，他（她）穿长裤的概率和穿裙子的概率是多大”，这个就是前面说的“正向概率”的计算。然而，假设你走在校园中，迎面走来一个穿长裤的学生（很不幸的是你高度近似，你只看得见他（她）穿的是否长裤，而无法确定他（她）的性别），你能够推断出他（她）是男生的概率是多大吗？有点抽象，换个问法：你在校园里面随机游走，遇到了 N 个穿长裤的人（仍然假设你无法直接观察到他们的性别），问这 N 个人里面有多少个女生多少个男生。
我们来算一算：假设学校里面人的总数是 U 个。60% 的男生都穿长裤，于是我们得到了 U * P(Boy) * P(Pants|Boy) 个穿长裤的（男生）（其中 P(Boy) 是男生的概率 = 60%，这里可以简单的理解为男生的比例；P(Pants|Boy) 是条件概率，即在 Boy 这个条件下穿长裤的概率是多大，这里是 100% ，因为所有男生都穿长裤）。40% 的女生里面又有一半（50%）是穿长裤的，于是我们又得到了 U * P(Girl) * P(Pants|Girl) 个穿长裤的（女生）。加起来一共是 U * P(Boy) * P(Pants|Boy) + U * P(Girl) * P(Pants|Girl) 个穿长裤的，其中有 U * P(Girl) * P(Pants|Girl) 个女生。两者一比就是你要求的答案。
把这个答案写成方式式：P(Girl|Pants) = P(Girl) * P(Pants|Girl) / [P(Boy) * P(Pants|Boy) + P(Girl) * P(Pants|Girl)]
其一般形式就是：P(B|A) = P(A|B) * P(B) / [P(A|B) * P(B) + P(A|~B) * P(~B) ]
收缩起来就是：P(B|A) = P(AB) / P(A)
贝叶斯定理的原始公式：假设H[1],H[2]…,H[n]互斥且构成一个完全事件，已知它们的概率P(H[i]),i=1,2,…,n,现观察到某事件A与H[,1],H[,2]…,H[,n]相伴随机出现，且已知条件概率P(A/H[,i])，求P(H[,i]/A)。
贝叶斯公式（发表于1763年）为： P(H[i]|A)=P(H[i])*P(A│H[i])/{P(H[1])*P(A│H[1]) +P(H[2])*P(A│H[2])+…+P(H[n])*P(A│H[n])}
二、第二个例子，一个深入的例子
第一个例子用来理解贝叶斯原理是怎么回事，第二个例子来告诉我们的常规认知与真实规律的差距。
贝叶斯定理在检测吸毒者时很有用。假设一个常规的检测结果的敏感度与可靠度均为99%，也就是说，当被检者吸毒时，每次检测呈阳性（+）的概率为99%。而被检者不吸毒时，每次检测呈阴性（-）的概率为99%。这是个二类问题。从检测结果的概率来看，检测结果是比较准确的。但是贝叶斯定理却可以揭示一个潜在的问题。假设某公司将对其全体雇员进行一次鸦片吸食情况的检测，已知0.5%的雇员吸毒。我们想知道，每位医学检测呈阳性的雇员吸毒的概率有多高？
解答一下：令“D”为雇员吸毒事件，“N”为雇员不吸毒事件，“+”为检测呈阳性事件。P(D)代表雇员吸毒的概率，不考虑其他情况，该值为0.005。因为公司的预先统计表明该公司的雇员中有0.5%的人吸食毒品，所以这个值就是D的先验概率。P(N)代表雇员不吸毒的概率，显然，该值为0.995，也就是1-P(D)。P(+|D)代表吸毒者阳性检出率，这是一个条件概率，由于阳性检测准确性是99%，因此该值为0.99。P(+|N)代表不吸毒者阳性检出率，也就是出错检测的概率，该值为0.01，因为对于不吸毒者，其检测为阴性的概率为99%，因此，其被误检测成阳性的概率为1-99%。
P(+)代表不考虑其他因素的影响的阳性检出率。该值为0.0149或者1.49%。我们可以通过全概率公式计算得到：此概率 = 吸毒者阳性检出率（0.5% x 99% = 0.495%)+ 不吸毒者阳性检出率（99.5% x 1% = 0.995%)。P(+）=0.0149是检测呈阳性的先验概率。用数学公式描述为：
P(+)=P(+,D)+P(+,N)=P(+|D)*P(D)+P(+|N)*P(N)
根据上述描述，我们可以计算某人检测呈阳性时确实吸毒的条件概率
P(D|+)=P(+|D)*P(D)/P(+)=P(+|D)*P(D)/(P(+|D)*P(D)+P(+|N)*P(N))
得出的贝叶斯原理公式：
尽管我们的检测结果可靠性很高，但是只能得出如下结论：如果某人检测呈阳性，那么此人是吸毒的概率只有大 约33%，也就是说此人不吸毒的可能性比较大。我们测试的条件（本例中指D，雇员吸毒）越难发生，发生误判的可能性越大。这个案例和我们的常识不太一样，因为我们一直以为是99%，而不是33%。从这个案例我们认识到，越小几率发生的事情，越要审慎的核对。
三、贝叶斯原理对于我们认知的提升
贝叶斯对于我们认知世界提供了一个全新的视角：贝叶斯主义主张一个信念P的得以证明的条件是当且仅当这个P的概率高到合理的程度，并且这种概率由获取新论据而发生的认知证明变化，可依据概率演算包括贝叶斯定理来计算和预测。
按照万维刚老师说法，世界是复杂不确定的，当你说“我相信”或者“我不相信”的时候，你确切明白你的意思么？你相信上帝么？相信中医么？相信全球变暖是人为造成的么？相信转基因食品安全么？相信大年初一雍和宫祈福能带来好运么？相信或者不相信的基础是什么？这样说有点生硬，是个二类问题。那么我们量化一点，我们相信一个事情的概率是多少？相信雍和宫好使的比例是15%，那就是基本上不信，相信的比例是80%，那就是很大可能要去祈福。就像天气预报现在说下雨的概率是50%一样。量化的概率信念可以让我们的决策更科学。真正的100%全信或者0%的完全不相信是很少的，因为这个世界是复杂的，而且我们对大多数事物的信念值都是在动态变化的，随着证据增多，可能动摇我们的信念。比如外星人，原来我们相信80%可能有，按照费曼的思路我们咋就这么独特呢？可是我们现在相信50%，因为确实没有证据。
一个智识分子应该拥有这种复杂的信念体系，不是非此即被的信念体系，不是好人坏人的电视世界，并且时刻调整自己对事物的看法，需要不断地变动我们自己的世界观。想做到这一点，就是要用到贝叶斯定理，贝叶斯定理是计算主观概率的，就是在已有数据基础上预测未来的概率。计算主管概率的意思不是主观的计算概率，所有贝叶斯原理都是一样的，如果掌握这个东西的全部信息，那我当然能计算一个客观概率（古典概率）---可是生活中绝大多数决策（应该是全部）面临的信息都是不全的，就是信息不完备，我们手中只有有限的数据，贝叶斯原理的核心思想，既然无法得到全面的信息，我们就在数据有限的情况下，尽可能做出一个好的预测。
再复习一下贝叶斯原理公式：P(A|B) = P(B|A) * P(A) /P(B)
最关键思想就是：当B发生以后，有了新数据，我们对A的信念就需要做一个调整，可以把A当做一般情况的理论预言，把B当做一次数据，有了新的数据，我们对于A的预测就更加准确一点。贝叶斯原理渴求越来越多的数据。
观点随事实改变，有胆有事，这是贝叶斯原理对于认知的基本提升。
