图像中灰度变化较大的非连续像素可以看做是边缘，边缘是最为重要的图像特征之一，在目标检测、追踪、识别中都必不可少的使用到了边缘，人类视觉系统也对边缘信息非常敏感。如果在图像中检测到边缘并对其进行定位，那么对后续的算法将起到至关重要的作用。灰度的突然变化会在一阶导数中引起波峰或者波谷，或者在二阶导数中等效的引起零交叉。
在下面我们介绍一些边缘检测的方法。
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一阶微分检测器
从数学上讲，像素的灰度值变化，可以用一阶微分来检测，对于二维离散函数，其微分可以表示为：
在进行离散图像处理的时候，上述运算可以通过，[-1 1]和[-1;1]两个模板来卷积完成，但是考虑到模板应该具有对称性，所以一般我们进行检测的模板大小都是(2n+1) x (2n+1)这样形式的，为此，我们利用下面的模板来进行一阶导数，虽然其领域变大了，但是我们仍然是处理的像素之间的差，因此，我们还是将其看做了一阶导数，这种最原始的边缘检测算子称为Prewitt算子：
Prewitt算子
如果将中心位置处的系数都换成２，那么我们可以得到如下图所示的Sobel算子。
Sobel算子
Sobel算子具有对原始图像平滑的效果，因为如果对图像进行平滑，然后进行Ｘ方向上的滤波的话，我们可以证明如下：
正是因为这种平滑效果，使得Sobel的效果要好于Prewitt，并且也较为常用。
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二阶微分检测器
二阶微分同样可以如一阶微分一样，检测到函数的变化。二阶微分其实就是拉普拉斯算子，一般使用下面的方法表示：
为了适应图像处理，我们将拉普拉斯算子写成离散形式，其中
因此最终结果为：
所以拉普拉斯算子在图像处理中的模板为：
如果我们考虑对角线方向和正负的话，我们可以得到如下几种拉普拉斯模板：
几种拉普拉斯滤波器模板
拉普拉斯算子对噪声和离散点极为敏感，所以在利用其进行边缘检测的时候，需要首先对图像进行平滑，除去噪声的影响。因为高斯运算和拉普拉斯运算可以叠加，我们可以将其的最终形式写为：
推导
最终得到：
高斯拉普拉斯
我们使用如下Matlab来看看LoG函数的样子
laplace_gaussian_filter = fspecial('log',[40 40],4.5);
subplot(121)
surf(laplace_gaussian_filter);
subplot(122)
surf(-laplace_gaussian_filter);
LoG函数,以及其倒过来的样子
如果把LoG函数倒过来，它的样子很像“墨西哥草帽”，所以它也被称作墨西哥草帽算子。使用LoG算子时，由于高斯滤波的原因，它会在尺寸上将结构的灰度（包括噪声）降低到远小于 σ的程度。下面我利用一个实验来看看LoG滤波器的效果
%生产随机噪声信号
D = rand(1,200)*0.5;
%产生一个阶跃信号
E = [zeros(1,100),5*ones(1,100)];
%将两个信号相加，得到我们进行处理的信号
S = E + D;
%首先定义滤波器
laplace_filter = fspecial('laplacian');
laplace_gaussian_filter = fspecial('log',[20 20],3);
gaussian_filter = fspecial('gaussian',20,3);
figure
subplot(231)
plot(S);
title('原始信号')
subplot(232);
surf(G);
title('高斯滤波器')
guassian_signal = imfilter(S,gaussian_filter,'symmetric');
subplot(233);
plot(guassian_signal);
title('高斯滤波后信号');
laplace_gaussian_signal = imfilter(guassian_signal,laplace_filter,'symmetric');
subplot(234);
plot(laplace_gaussian_signal);
title('对高斯滤波后的信号施加拉普拉斯算子');
Log_signal = imfilter(S,laplace_gaussian_filter,'symmetric');
subplot(235)
plot(Log_signal);
title('直接在原始信号上LoG算子');
laplace_signal = imfilter(S,laplace_filter,'symmetric');
subplot(236)
plot(laplace_signal);
title('直接在原始信号上施加拉普拉斯算子');
可视化
两个不同σ值的高斯滤波器的差，可以用来近似LoG滤波器。这一点不难想象，因为高斯滤波器是低通滤波器，两个低通滤波器的差可以构成一个带通滤波器（LoG是带通滤波器）（这一点在图像金字塔中有提及），我们可以通过一个简单的Matlab实验来实现。
gaussian_filter_1 = fspecial('gaussian',40,8);
gaussian_filter_2 = fspecial('gaussian',40,6);
T = gaussian_filter_2 - gaussian_filter_1;
subplot(131)
surf(gaussian_filter_1);
subplot(132)
surf(gaussian_filter_2);
subplot(133)
surf(T);
利用高斯滤波器之差来构成LoG
