「数学」证明e^x不等式

题干

证明\frac{e^x+e^y}{2}\geq e^{\frac{x+y}{2}}.

题解

方法1: 利用二项式平方非负性
\begin{aligned} e^{\frac{x+y}{2}} &= \sqrt{e^xe^y} \\ \\ \implies \frac{e^x+e^y}{2} &\geq e^{\frac{x+y}{2}} \\ \\ \frac{e^x+e^y}{2} &\geq \sqrt{e^xe^y} \\ \\ e^x - 2\sqrt{e^xe^y} +e^y &\geq 0 \\ \\ (\sqrt{e^x}-\sqrt{e^y})^2 &\geq 0&\hfill\square \\ \\ \end{aligned}

方法2: 利用琴生不等式

\begin{aligned} f(x) := e^x \implies f''(x)=e^x>0 &\implies \text{convex function} \\ \\ \frac{f(x)+f(y)}{2} &\geq f\left( \frac{x+y}{2} \right) \\ \\ \mathbb{E}[f(\xi)] &\geq f(\mathbb{E}[\xi])\;&\text{holds by Jensen's Inequality} \end{aligned}

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