在上篇文章中（数学与交易1 | 实用入门-从押注策略悟资金管理），我们介绍了两种常见的押注类型（鞅策略和反鞅策略），如果去赌场，明显是选择鞅策略对赌客更有优势；而对金融交易者，采用反鞅策略进行押注才是对自己的交易是有利的，我们需要制造有正期望收益的系统。
采用总资金的固定百分比进行押注是常见的一种反鞅策略，那我们是否可以找到一个最优的押注比例以实现利润最大化呢？
这就要说到著名的凯利公式了。
1956年7月，美国贝尔实验室的科学家约翰·拉里·凯利（John Kelly）在《贝尔系统技术期刊》发表了《信息速率的新解读》一文，提出了著名的“凯利公式”（Kelly formula）。
1960年，爱德华·索普（Edward O. Thorp，1932-）在美国《国家科学院文献》发表了《二十一点的最佳策略》一文，对凯利公式进行了应用。
随后凯利公式逐渐引起了大家的注意，被广泛应用到很多地方，例如体育博彩、21点、股票期货市场等。
1987年，美国著名的期货交易员拉瑞·威廉姆斯（Larry R. Williams）凭借凯利公式在罗宾斯杯期货交易冠军赛中获得了总冠军：他在不到一年的时间里使1万美元变成了110万美元。
什么是凯利公式？
最一般性陈述为，寻找能最大化结果对数期望值的资本比例 f*，即可获得长期增长率的最大化。
对于只有两种结果（或输去所有押注金额，或取得资金乘以特定赔率的回报）的简单赌局而言，可由一般性陈述导出以下公式：
f*=（bp-q)/b
f*= 现有资金应进行下次投注的比例；
b= 投注可得的赔率（净赔率）；
p= 获胜率；
q= 落败率，即 1-p；
举例来说
若一赌局有40%的胜率（p =0.4，q=0.6），而赌客A在赢得赌局时，可获得二对一的赔率（b=2），则A应在每次游戏中押注现有资金的10%（f*=0.1），以最大化资金的长期增长率。这样的做法可以让A的资金获得最大化长期增长率。
一位钟情于扑克牌博弈游戏的天才数学家爱德华·索普（Edward Thorp），在读了凯利的论文后，开始研究如何用数学和概率论的方法在轮盘赌博和21点赌博中立于不败之地，经过一段时间的摸索，理论上能战胜赌场庄家的“数牌法”诞生。
为了验证自己的理论，索普辗转于赌场之间，在著名的赌城拉斯维加斯一举成名，因为赢得太多，他被赌场拉进了黑名单……
索普获胜的法宝便是凯利法则，其实对于某一手21点，他并不知道胜算多少，但只要遵循大数定理，玩的局数足够多，按照他的算牌规则，就一定能获胜。
发扬凯利公式，索普功不可没，1962年，他出版了《战胜庄家》，里面满满都是他的“不败秘籍”，被誉为21点的“圣经”。继他之后，一代代的学生加入到升级改良索普的策略中，并组成团队出入赌场。
从赌场到华尔街
1969年，也就是在索普的“不败秘籍”问世7年后，索普把目光放在了华尔街新生的股票权证上，史上第一家量化对冲基金“Princeton Newport Partners”在索普的筹备下诞生了。PNP是最早用数学建立套利模型的对冲基金，在投资界可谓出尽了风头，从1968年到1988年，这个对冲基金净值上涨了14.5倍，同期标普500只上涨了5倍。
这个诞生于赌场的凯利公式，在投资界也被被巴菲特，查理芒格和比尔格罗斯这样的大佬引用了无数回。
它在投资中的应用当然也没有那么简单，否则索普为了赚钱而保密的公式就完全没有作用了。这个公式最开始是凯利为通信学研究的，并不贴近实际的应用场景。比如公式中要求的几个参数，在实际的交易背景下不是常数，而实际交易中有最低交易门槛，最少也要买100股，如果你的账户里亏的只剩500块，那么就意味着大部分股票你都买不了。
案例来源于量化投资与金融科技《从赌徒到量化投资，他用一个凯利公式，碾压了赌场和华尔街！》
特别说明，在赌场中使用凯利公式时，有两个大的准则：
1. 如果一个赌局的期望收益为负，最优的选择是不参与游戏。
2. 如果一个赌局存在把所押赌注全部输掉的可能，则无论这种可能性多么小，最优的选择是永远不all in。
虽然拉瑞·威廉姆斯利用凯利公式取得的交易绩效令人震惊，但是他在后来连续几次失利后，果断地放弃了凯利公式。
这是因为凯利公式是在已知胜率和赔率的情况下，计算“最优比例”以实现利润最大化的一种数学方法。
在赌场中，获胜的概率是相对固定的，赔率也是事先约定好的，所以凯利公式应用起来比较方便。
而在金融交易市场中，获胜的概率以及盈亏比都是不可预知的，所以只能通过对历史交易的统计来进行计算，因此统计获得的胜率、赔率都是一个均值，而均值是无法应对小概率事件的。
正因如此，有更多的人为了让金融交易中的押注策略能像凯利公式这样大放异彩，前赴后继地对凯利公式进行了很多有益的改进，并服务于自己的交易系统。
在接下来的篇章中，我们将讨论如何改进凯利公式，让它在金融市场发挥威力。
