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《退中的数学》教学案例

教学目标

1、借助画图、列表等方法，在动手操作的过程中探寻规律。

2、在解决问题的具体情境中，经历并体验“解决复杂问题从简单入手”的策略和思想。

3、引导回顾解决问题的思考过程，提高对数学思想价值的认识。

教学重难点：

在发现规律、解决问题的过程中，培养学生解决问题的策略和方法。

用文字或字母表示一般性规律。

教具学具

一张白纸、课件、

教学过程：

一、课前谈话。

课件展示有规律的图片和有规律的音乐节奏欣赏。师：同学们，刚才的图片和音乐美吗？为什么那么美呢？（因为它们是有规律的图片和节奏），生活中的规律能给我们以美的享受，生活中很多地方都能找到规律，在数学中也有很多地方是有规律的，我们一起去寻找一下吧。

【教学情境的创设，能激发学生的学习兴趣和求知欲望。有规律的图片和音乐欣赏这一情境符合学生的认知特点，为学习面积知识作下了铺垫】

二、充分感知，引导建构

（一）、自主学习（8分钟）

1、请同学们看到导学案上的自主学习，小组同学互相合作完成。

【『纸上得来终觉浅，绝知此事需躬行。』为了能让学生亲身感受规律，学会思考。在这自主学习环节中我设置了三个不同类型的题目，让学生在自主学习的过程中充分感知并建立初步的数学思考方法。】

二、合作探究（20分钟）

（一）情景引入

师：这是我给你们的奖品，“白纸”？不是，我准备用这张白纸变个魔术，把给你们的奖品给变出来。手拿白纸藏于讲台下面，口里大声说：“嘶、嘶”两下。

问：撕成了几片？（生：四片，三片，六片）

让助手捧着4片纸，这是我变出来的，由1片变成4片，我是要奖励给你们四张纸片吗？不是的，我接着变。我从中再拿起一片，再撕2次。并说撕撕，说说现在我变出了多少片

师：如果我现在把每张纸都撕成4片，师将4片纸交给助手，

师：现在是几片了。（生7片）课件出示表格

每次拿出一张，撕成四片。能撕出2010、2011、2012片吗？先把你的猜想告诉小组里的同学，并说说自己的依据。

师：当我们有猜想的时候，有一种依据去做大胆的假设的时候，我们的研究已经开始。

师：同学们，你们知道华罗庚爷爷吗？（课件展示）他是研究较复杂的数学现象的。他有一句名言：当你遇到数学难题的时候，要学会知难而退？

师：说的好！学会退，但不能只是退，还要回头看，这样才能找到解决问题的方法，退就是要退而思进。（板书进）

【这一环节的教学，我重视的是让学生在具体情境中感受数学知识的思考过程。通过撕纸的演示，首先让学生明白这一活动的过程要求，在具体的操作中产生数学问题，引导他们在实际生活中经常会遇到这样那样的数学问题，要想很好的解决类似这样的问题，也可以通过动手实践来进行研究和探索，进而解决问题。再让他们用自己的语言去总结。提高他们数学语言的表达能力。】

二）适时点拔，感受探索的魅力。

师：以小组为单位动手实践，撕一撕，边动手，边完成导学案上的表格。

【《课程标准》中大力倡导“动手实践、自主探索、合作交流”的学习方式 。体验统一面积单位的必要性是本节课的难点，在教学中，我利用小组合作的形式，让学生去动手撕一撕。学生动手操作。听过了就忘记了，看过了就记住了，做过了就能理解。在这一环节的教学中，我注重学生的动手实践，让学生去经历发现问题，提出问题，解决问题的过程，充分给予学生探究的时间和空间，孩子们轻松、愉快、积极、主动地探究习。】

（三）小组汇报，得出规律

完成后小组汇报。

小组猜想：能不能撕出2011片？

能不能撕出2012片？

把你的猜想写下来，我认为                             

撕出的总片数

1

4

7

比上次多出的片数

我发现了

（回答完成22时，我问，这样你们能不能一直撕，然后看能不能撕出2011片吗？）生：不能。师：对，我们不能傻傻地撕下去。数学字华罗庚爷爷说过，当我们遇到数学难题时，要学会退，退就是要回头看，回头看，找找其中的规律。

1、  每次撕出的总片数与上一次的相比，我发现了                   

2、  撕出的总片数与数字（    ）有关。有什么样的关系？

3、  能不能撕出4片可以怎样验证？          7片可以这样验证？          13片可以这样验证            ……

4、  我能用自己的方法验证能不能撕出2011片？ 能不能撕出2012片？

（  ）撕出2011片，因为：                       

（  ）撕出2012片，因为：                               

一个小组回答完后，再请一个小组来回答。这次要自己说出思路。怎么想的？

撕出的总片数计算方法是3n+1

利用小组同学总结出来的方法，你们验证一下自己的猜想是否正确。

师：请一个小组的同学汇报合作探究的成果，其他小组有问题可以提，同时也可以适时补充说明。

【这一环节的教学我采用的是知识迁移和推导的方法，每次拿出一片再撕成四片，这样撕出的数字分别是：1、4、7、10、13、16、19……学生通过观察发现每次撕出的数字比上次多3。进而引导学生推导出方法即：3N+1，或是数字减去1都是3的倍数。】

【儿童的探究能力究竟有多强?在学习的道路上儿童自己能够走多远?很多时候我们不知道，不知道的原因不是因为他们不能，而是我们没有给他们机会，没有给予他们足够的信任，更没有激发他们足够的学习热情。从撕一张纸，到撕两张纸，到三张纸、四张纸，学生的思维由封闭走向开放;学生的探究从胆怯走向自信;……，当学生一步步研究并得出结论时，面对抛出的“把一张纸撕成4片，照这样撕下去，能撕成2011片呢?2012片呢?”孩子们不再畏难，不再害怕，因为他们学会了“知难而‘退’，以退为进”和触类旁通的思考方法，对于复杂问题的猜想、思考、验证在他们的眼中已不再成为困难。】

师小结：刚才大家大胆的猜想因为有了操作、有了实践有了证明才使我们最终发现了真理。当然，我们还要感谢数学家华罗庚爷爷，因为是他提示我们在解决数学难题时我们要学会知难而“退”要善于退，足够的退，退到最简单又不失关键的地方。退，是为了以退为进，退是为了回头看，退是为了找规律，退是为了更好地解决问题（板书，退，退，退；进，进，进；回头看，找规律，解难题）板书课题：这就是我们今天学习的内容，退中的数学

【教会学生一个题目并不难，难的是教学生一种方法，更难的是教学生一种数学思想。在这，我用数学家华罗庚的话结合本节课的教学内容，让学生明白这样一种数学思想：当我们在遇到数学难题时可以用“以退为进”的数学思想来思考，找出其中的规律，进而解决难题。】

三、拓展应用（10分钟）

师：同学们，在我们生活中有许多看似复杂的问题，我们都可以尝试从简单问题去思考，逐步找到其中的规律，从而来解决复杂的问题。

根据规律，我们计算一下12个点能画几条线段，20个点能画几条线段。

12个点一共可以连成的线段：

1+2+3+……+10+11=66（条）

20个点一共可以连成的线段：

1+2+3+……+18+19=190（条）

【学以致用，“线段问题”问题一出现确实让很多学生咋舌，然而，在学生的思维遇到困难的时候他已学会了 “退退退，大踏步地退，退到不失事物的本质时候，再进进进，小步子的进，回头看，找规律。”的数学思想方法，所以学生能很快地完成这一难题。】

（四）回顾全课，小结延伸：

师：今天同学们都表现得非常棒，用以退为进，化难为易的数学思考方法，解决了一些问题。同学们不但要在以后的学习中运用以退为进数学思考方法，同时在与人相处或是与人有争执的时候也要学会以退为进，正所谓：忍一时风平浪静，退一步海阔天空，这就是今天老师要送给你们的第二份礼物。（出示一幅对联：上联：忍一时风平浪静，下联：退一 步海阔天空横批：以退为进）

【数学思想不但能用于解决难题，也能为学生在生活中指引方向。在教学中不但要教学生知识，更要教会学生做人，这样学生才能成为一个真正有益于社会的人。这其中传达的不仅是一种数学的思想方法，还是一种可贵的数学学习品质，更是教给学生一种人生态度。】

板书设计

退中的数学

退退退

进进进

回头看

找规律

解难题

内容提要：解决问题的策略就是寻找解题思路的指导思想，它是为了实现解题目标而采取的指导方针。在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。特殊化策略是一种“退”的策略，所谓“退”，可以从一般退到特殊，多数退到少数，空间退到平面，抽象退到具体……‘退’到最原始而不失去重要性的地方。

关键词：解题策略、指导方针、特殊化策略——“退”的策略

解决问题是数学课程的重要目标之一，解决问题需要相应的策略做支撑。解决问题的策略就是寻找解题思路的指导思想，它是为了实现解题目标而采取的指导方针。数学大师希尔伯特曾讲:“在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。我们寻找一个答案而未能成功的原因就在于这样的事实，即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决，这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们。”由此可见，当我们遇到带有一般性问题的题目感到束手无策时，采用特殊化策略就是一个较好的选择。

一、特殊化的基本思想

特殊化策略即视原问题为一般，构造其特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决。特殊化作为化归策略，基本思想就是：相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单、直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决。因此，人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或结果应用或推广到一般问题之上，而获得一般性问题的解决。正如波利所说：“特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集或仅仅一个对象。”因此，特殊化常表现为范围的收缩或限制，即从较大范围的问题向较小范围的问题过渡，或从某类问题向其子类问题的过渡。较为理想的特殊是其自身容易解决，且从其解决过程中又易发现或得到一般性问题的解法。所以，特殊化策略的关键是能否找到一个最佳的特殊化问题。

二、特殊化的具体运用

特殊化策略是一种“退”的策略，所谓“退”，可以从一般退到特殊，多数退到少数，空间退到平面，抽象退到具体……，正如华罗庚先生所说：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，把简单的、特殊的问题搞清楚了，并从这些简单的问题的解决中，或者获得解题思路，或者提示解题方向，或者发现一般问题的结论，或者得到化归为简单问题的途径，从而再‘进’到一般性问题上来。”

在教学上，我把这“退”的策略总结成这样一句话：“退、退、退，进、进、进，回头看，找规律。”下面就让我通过一些具体的例子来体会特殊化策略。

例1：  在平面上画出100条直线，这些直线最多可把平面分成多少个小区域？

分析与解：一下子看出本题的计算方法或者结果都是很难的，我们不妨“退”到最简单的情况进行观察，逐步找到规律，然后得出答案来。

平面上如果没有直线，则整个平面就只有1个区域；如果画出第1条直线，则平面被分成2个区域，比刚才增加了1个区域；如果再画1条直线，则共有2条直线，平面最多可以被分成4个区域（要想使分成的区域尽可能多，就应该使所画的直线与前面已画的直线既不平行又无三线共点的情况发生），比刚才又增加了2个区域；如果再画第3条直线，则平面最多可以被分成7个区域，又比刚才又增加了3个区域，……，依此类推，当画出第k条直线时，平面将最多可以增加k个区域，这样观察得出的规律正确吗？

显然，如果要使分得的区域尽可能的多，画的这些直线应满足两个条件：（1）任何两条直线都不平行；　（2）任何三条直线都不经过同一个点，即没有三条共点的情况出现。

事实上，当平面上已经有了（k－1）条直线时，如果再画出第k条直线，则直线将与前面画出的（k－1）条直线都相交且无三线共点，于是这条直线被前（k－1）条直线分成了k段，由于每段都把它所经过的平面区域分成了两个区域，所以共计增加了k个区域。故在平面上画出100条直线，这些直线最多可以把平面分成1+1+2+3+…+100=5051（个）区域。

例3：有一个繁华的商场，一天之中接待的顾客数以千计，川流不息。如果商场有一个重要广告，想使所有的顾客都能听到；又已知当天任意的三个顾客中，至少有两个在商场里相遇。问商场至少广播几次，就能使这一天到过商场的所有顾客都能听到。

分析与解：顾客人数为n=1，2时，不能提供一般情况的启示，因为最本质的条件“任意3个顾客中，至少有两个在商场里相遇”没有用上。考虑n=3。

当第一个顾客到来时，为了使广播的次数少一些，可以先不忙开广播，一直等到有人要离开商场时，则必须开播。可见第一次广播应在第一个顾客将离而未离商场之前。

第一次开播时，第二、三位顾客可能到了也可能未到，考虑最坏的情况，他们还未进来或还未全进来，那么第二次开播应在第三个顾客进来之后。

现在的问题是，第二个顾客会不会在第一个顾客离去之后才进来，而又在第三个顾客进来之前就离开，若这样，他就没有听到任何一次广播了。但这是不会发生的，根据“当天任意的三个顾客中，至少有两个在商场里相遇”，他一定会在第一个顾客离开之前进来，或在第三个顾客进来之后才离开，因此，他一定听到广播。

所以，商场只要广播两次就够了：第一次开播在第一个顾客即离开之时，第二次开播在最后一个顾客进来之时。

这个思路对任意的n≥3也成立。设第一个离去的顾客为A，最后一个进来的顾客为B，若按上述方法广播两次之后，仍有顾客C没有听见，则C必在A离去之后才进来，且在B进来之前就离去，于是C与A、B均未相遇。这与已知条件矛盾。所以，商场两次广播之后，全体顾客都听到了。

例2：某地民兵预备役组织越野赛，需从总部将38件障碍物运往距总部3千米处，并从该处向前每隔500米，放置一件障碍物，已知一辆车一次能运4件障碍物，若用一辆车全部运完返回总部，则所运行的全部路程至少是多少千米？

分析与解：此题要运送的障碍物较多，要想很快找到一辆车在运完所有障碍物的同时走的路程又最少的办法很难。此时，我们不妨先“退”到“不失去重要性的地方”，将问题简单化，题中38不能为4整除，依此情境，我们不妨假设若障碍物为5件，怎样运才能完成任务又使走的路程最少呢？由于要运的障碍物较少，通过计算不难得出：若一辆车装满后按顺序将障碍物送出放置并按此思路将障碍物放完，最后返回总部要行：(3+0.5×3)×2+(3+0.5×4)×2=19(千米)；而若此辆车装满后先将障碍物直接送至距总部最远处再回头按顺序放置，并按此思路将障碍物放完最后返回总部则要行：(3+0.5×4)×2+(3+0.5)×2=17(千米)，显然后者比前者要少行0.5×2×2=2(千米)，再与其它运法相比较，不难得出：17千米的路程的确为最少。

至此，原题的解题思路已变得相当明朗了：对于38件障碍物，一辆车势必至少要运10次，第一次先将4件障碍物送至距总部最远处放置再回到总部需行：[3+0.5×(38－1)]×2=43(千米)，以后每次比前次要少行0.5×4×2=4(千米)，直至第十次此辆车只装2件障碍物送出放置好并回总部要行：(3+0.5)×2=7(千米)，至此一辆车全部运完障碍物并返回总部所运行的全部路程至少应为：43+39+35+31+27+23+19+15+11+7=250(千米)。

由以上两个例子可以看出，运用特殊化策略解题，可采用从简单化、特殊化入手，化归为简单情形、特殊情形，通过对简单情形、特殊情形的分析、观察与处理，从而获得对复杂问题、一般问题的解决