递归方程求解--主定理

重点提示

  • 递归树分析法
  • 适用情形与不适用情形

具有递归结构的算法的运行时间分析

主定理

假设某个具有递归结构的算法的运行时间用T(n)=aT(n/b)+f(n)表示，其中f(n)表示将原问题分解成子问题的时间跟将子问题的解合并的时间的总和，

  • 如果f(n)多项式小于n^{\log_ba}，则T(n)的上限就是n^{\log_ba}；
  • 如果f(n)多项式大于n^{\log_ba}，且 af(n/b)\leq cf(n)，其中c<1，则T(n)的上限就是的上限就是f(n)；
  • 如果f(n)跟n^{\log_ba}有相同的增长阶，则T(n)的上线就是n^{\log_ba}\log n；

递归树角度理解主定理

主定理证明--递归树.png
  • 整个树的开销被叶子节点的总开销控制；
  • 整个树的开销被根节点的开销控制；
  • 整个树的开销被均匀分摊到树的各个层级了；

注：

f(n)跟n^{\log_ba}之间存在5种关系

  • f(n)非多项式小于n^{\log_ba}（主定理不适用）；
  • f(n)多项式小于n^{\log_ba}（主定理适用）；
  • f(n)跟n^{\log_ba}增长阶相同（主定理适用）；
  • f(n)多项式大于n^{\log_ba}（主定理适用）；
  • f(n)非多项式大于n^{\log_ba}（主定理不适用）；
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