2. 填补的方法

SAS中给出了不针对不同类型的填补变量、协变量以及不同缺失模式下填补方法的汇总，具体可以参考SAS Help。填补的方法包括Monotone缺失模式下的Regression、Monotone和Non-monotone模式下都可以用的FCS和MCMC等。Regression方法用的较多，同时也比较好理解，FCS和MCMC则相对比较复杂一些。汇总了各个方法相应的填补过程及相关公式，可以帮助更好的理解方法。

1. Regression imputation

      该填补方法只能在Monotone缺失模式下使用。
      填补基于线性回归，待填补变量作为因变量，其余认为可能与缺失数据有关的变量作为自变量。模型的回归参数通过待填补变量完整的记录估计，因此该模型假设的是缺失受试者与不缺失的受试者具有相同的趋势。
      如访视3缺失，在Monotone模式下， $Y_1,...,Y_2$ 均有数据。
      回归模型将基于 $Y_1,Y_2,Y_3$ 均有数据的记录进行估计，即 $Y_{i,3,obs}=β_{0,3}+β_{1,3}Y_{i,1,obs}+β_{2,3}Y_{i,2,obs}+e_{i,3}$
      i：第i个受试者, 通过不缺失的记录获得模型参数。
      $Y_3$ 缺失的受试者将通过上述模型进行估计。访视4、5、6、... ...、i 缺失的受试者，重复上述的过程，模型的自变量将包括对应的i-1个访视的结果。
      实际填补时，由于需要随机产生数据，而每次填补将产生不同的数据，填补结果并不直接来源于上述的回归方程，而是通过该方程相关的参数产生一个多元正态分布，每次填补时从该分布中随机产生一组β用于填补。
      公式帮助理解：

Source: Multiple Imputation and its Application

2. Full Conditional Specification

      FCS可以同时用于Monotone和non-monotone两种缺失模式。该方法使用一系列单变量模型（每个待填补变量对应一个模型，变量填补顺序与Var中声明顺序相同），类似于前面提到的回归填补。填补包括Fill-in和Imputation两步：
      1. Fill-in： $Y_1$ 缺失，则通过已观测到的 $Y_{1(obs)}$ 产生条件概率分布 $P(θ_1|Y_{1(obs)})$ ，从贝叶斯后验分布中产生新的参数 ${θ_1^{(0)}}\thicksim P(θ_1|Y_{1(obs)})$ ，填补值 $Y_{1(*)}^{(0)}\thicksim P(Y_1|θ_1^{(0)})$ 。填补完成后，再用已填补完的数据及已观测到的数据 $Y_{1(obs)}+Y_{1(*)}^{(0)}$ 重复上述步骤，填补第2个缺失变量， $θ_2^{(0)}\thicksim P(θ_2|Y_{1(obs)}+Y_{1(*)}^{(0)},Y_{2(obs)})$ ， $Y_2^{(0)}\thicksim P(Y_2|θ_2^{(0)})$ 。直到所有变量填补完成。
      2. Imputation：该步骤中进行填补。填补 $Y_1$ 时，将 $Y_1$ 未缺失的记录及其他变量 $（Y_2^{(t)}，...，Y_p^{(t)}）$ 均放入模型，从模型中获得新的参数 $θ_1^{(t+1)} \thicksim P(θ_1|Y_{1(obs)},Y_2^{(t)}，...，Y_p^{(t)} )$ ，产生填补值 $Y_{1(*)}^{(t+1)}$ 。填补 $Y_2$ 时，同样将已填补完的 $Y_1$ 及未缺失的 $Y_1, Y_2$ 放入模型填补 $Y_2$ 。t为迭代次数，t=0时即为第1步中产生的值，t>0时为第t次迭代的值。SAS中通过NBITER=控制迭代次数，FCS命令来实现。
     公式帮助理解：

Source: SAS Help

3. Joint modeling

      该方法与FCS类似，可以同时用于monotone和non-monotone，但并不采用回归填补，而是通过MCMC（Markov Chain Monte Carlo）法从贝叶斯后验分布中抽样以产生每次填补值。
      SAS中通过MCMC命令来实现。
      当使用MCMC时，Class选项不能使用。分类变量需要以数值的形式进入模型，多分类变量以dummy code进入。

Source: SAS Help / Multiple Imputation and its Application / Clinical Trials with Missing Data

2. 填补的方法

1. Regression imputation

2. Full Conditional Specification

3. Joint modeling

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