Nonlinear Component Analysis as a Kernel Eigenvalue Problem

Scholkopf B, Smola A J, Muller K, et al. Nonlinear component analysis as a kernel eigenvalue problem[J]. Neural Computation, 1998, 10(5): 1299-1319.

引

普通的PCA将下式进行特征分解（用论文的话讲就是对角化）：
$C = \frac{1}{M} \sum \limits_{j=1}^M x_j x_j^T$
其中 $x_j \in \mathbb{R}^{N}, j = 1, \ldots, M$ ，且 $\sum \limits_{j=1}^M x_j = 0$ (中心化)。

而kernel PCA试图通过一个非线性函数：
$\Phi:\mathbb{R}^N \rightarrow F, x \rightarrow X$
其中 $F$ 是一个高维空间（甚至是无限维)。
所以我们要解决这么一个问题：
$\bar{C} = \frac{1}{M} \sum_{j=1}^M \Phi (x_j) \Phi(x_j)^T$

其实我们面对的第一个问题不是维度的问题而是 $\Phi$ 的选择或者说构造。我们为什么要把数据映射到高维的空间？因为当前数据的结构（或者说分布）并不理想。

比如满足 $(x-1)^2+(y-1)^2=4$ 的点，我们可以扩充到高维空间 $(x^2, x, y, y^2)$ ，在高维空间是线性的（虽然这个例子用在kernel SVM 比较好）。

因为 $\Phi(\cdot)$ 的构造蛮麻烦的，即便有一些先验知识。我们来看一种比较简单的泛用的映射：
$(x_1, x_2, x_3) \rightarrow (x_1^3, x_2^3, x_3^3, x_1^2x_2,x_1^2x_3,x_1x_2^2,x_1x_3^2,x_2^2x_3,x_2x_3^2,x_1x_2x_3)$
这种样子的映射，很容易把维度扩充到很大很大，这个时候求解特征问题会变得很麻烦。

kernel PCA

假设 $\sum \limits_{i=1}^M \Phi(x_i)=0$ (如何保证这个性质的成立在最后讲，注意即便 $\sum \limits_{i=1}^M x_i = 0$ ， $\sum \limits_{i=1}^M \Phi(x_i)=0$ 也不一定成立)。

假设我们找到了 $\bar{C}$ 的特征向量 $V \ne 0$ :
$\bar{C}V = \lambda V$
因为 $V$ 是 $\Phi(x_i),i=1,\ldots, M$ 的线性组合（这个容易证明），所以， $V$ 可以由下式表示：
$V = \sum \limits_{i=1}^M \alpha_i \Phi(x_i)$

所以：
$\lambda V^T \Phi(x_j) = V^T\bar{C} \Phi(x_j), \quad for \: all \: j=1,\ldots, M$
等价于(记 $\Phi = [\Phi(x_1), \ldots, \Phi(x_M)]$ )：
$\begin{array}{ll} \lambda \sum \limits_{i=1}^M \alpha_i (\Phi^T(x_i)\Phi(x_j)) &= \lambda \{ \Phi^T \Phi(x_j)\} ^T \alpha \\ & =\frac{1}{M} \sum \limits_{i=1}^M \alpha_i \Phi^T(x_i) \Phi \Phi^T \Phi(x_j) \\ & = \frac{1}{M} \{\Phi^T \Phi \Phi^T \Phi(x_j)\}^T \alpha \end{array}$
对于 $j=1,\ldots, M$ 均成立，其中 $\alpha = [\alpha_1, \ldots, \alpha_M]^T$ 。

等价于：
$M \lambda \Phi^T \Phi \alpha = \Phi^T \Phi \Phi^T \Phi \alpha$
令 $K = \Phi^T \Phi$ ，那么可写作：
$M \lambda K \alpha = K^2\alpha$
其中 $K_{ij} = \Phi^T(x_i) \Phi(x_j)$

所以，我们可以通过下式来求解 $\alpha$ :
$M\lambda \alpha = K \alpha$
即 $\alpha$ 是 $K$ 的特征向量(注意，当 $\alpha$ 为特征向量的时候是一定符合 $M \lambda K \alpha = K^2\alpha$ 的，反之也是的，即二者是等价的)。

假设 $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \ldots \ge \lambda_M$ 对应 $\alpha^1, \ldots, \alpha^M$ ，那么相应的 $V$ 也算是求出来了。

需要注意的是， $\|\alpha\|$ 往往不为1，因为我们希望 $\|V\|=1$ ，所以：
$V^TV = \alpha^T K \alpha = \lambda \|\alpha\|^2 = 1$
所以 $\|\alpha\| = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}$

PCA当然需要求主成分，假设有一个新的样本 $x$ ，我们需要求：
$\Phi(x)^TV = \Phi^T(x) \Phi \alpha = \sum \limits_{i=1}^M \alpha_i \Phi^T(x_i) \Phi(x)$

注意，我们只需要计算 $\Phi^T(x_i) \Phi(x)$ 。

现在回到kernel PCA 上的关键kernel上。注意到，无论是K，还是最后计算主成分，我们都只需要计算 $\Phi^T(x)\Phi(y)$ 就可以了，所以如果我们能够找到一个函数 $k(x,y)$ 来替代就不必显示将 $x$ 映射到 $\Phi(x)$ 了，这就能够避免了 $\Phi(\cdot)$ 的选择问题和计算问题。

kernel 的选择

显然，PCA的 $\lambda \ge 0$ ，所以我们也必须保证 $K$ 为半正定矩阵，相应的核函数 $k$ 称为正定核，Mercer定理有相应的构建。

也有现成的正定核：

多项式核

$k(x, y) = (x^Ty + 1)^d$
论文中是 $(x^Ty)^d$

高斯核函数

$k(x, y) = \exp \{\ -\frac{\|x-y\|^2}{2\sigma^2}\}$

性质

在这里插入图片描述

论文用上面的一个例子来说明，kernel PCA可能更准确地抓住数据的结构。

kernel PCA具有普通PCA的性质，良好的逼近（从方差角度），以及拥有最多的互信息等等。并且，如果 $k(x, y) = k(x^Hy)$ ，那么kernel PCA还具有酉不变性。

因为普通的PCA处理的是一个 $N \times N$ 的协方差矩阵，所以，至多获得 $N$ 个载荷向量，而kernel PCA至多获得 $M$ 个载荷向量(特征值非零)。所以，kernel PCA有望比普通PCA更加精准。

一些问题

中心化

PCA处理的是协方差矩阵，正如我们最开始所假设的， $\sum \limits_{i=1}^{M} \Phi(x_i)=0$ ,即中心化。因为 $\Phi(\cdot)$ 并不是线性函数，所以，即便 $\sum \limits_{i=1}^M x_i = 0$ 也不能保证 $\sum \limits_{i=1}^{M} \Phi(x_i)=0$ ，不过有别的方法处理。
令
$\tilde{\Phi}(x_i) = \Phi(x_i) - \frac{1}{M}\sum \limits_{k=1}^M \Phi(x_k) \\ \tilde{K}_{ij} = \tilde{\Phi}^T(x_i) \Phi(x_j) \\ 1_{M} = \{1\}_{ij}^{M \times M}$
可以得到：
$\begin{array}{ll} \tilde{K}_{ij} &= \tilde{\Phi}^T(x_i) \Phi(x_j) \\ &= \big(\Phi(x_i) - \frac{1}{M}\sum \limits_{k=1}^M \Phi(x_k)\big)^T \big(\Phi(x_j) - \frac{1}{M}\sum \limits_{k=1}^M \Phi(x_k)\big) \\ &= K_{ij} - \frac{1}{M} \sum \limits_{k=1}^M K_{kj} - \frac{1}{M} \sum \limits_{k=1}^M K_{ik} + \frac{1}{M^2} \sum \limits \limits_{m,n=1}^M K_{mn} \\ &= (K - 1_MK - K1_M + 1_MK1_M)_{ij} \end{array}$
于是，我们通过 $K$ 可以构造出 $\tilde{K}$ 。只需再求解 $\tilde{K}\tilde{\alpha} = M \lambda \tilde{\alpha}$ 即可。

恢复

我们知道，根据PCA选出的载荷向量以及主成分，我们能够恢复出原数据（或者近似，如果我们只选取了部分载荷向量）。对于kernel PCA，比较困难，因为我们并没有显式构造 $\Phi(\cdot)$ ，也就没法显式找到 $V$ ，更何况，有时候我们高维空间找到 $V$ 在原空间中并不存在原像。
或许，我们可以通过：
$\min \limits_{x} \quad \|\Phi(x) - \Phi(\hat{x})\|^2$
来求解，注意到，上式也只和核函数 $k(x,y)$ 有关。

代码


import numpy as np

class KernelPCA:

    def __init__(self, data, kernel=1, pra=3):
        self.__n, self.__d = data.shape
        self.__data = np.array(data, dtype=float)
        self.kernel = self.kernels(kernel, pra)
        self.__K = self.center()

    @property
    def shape(self):
        return self.__n, self.__d

    @property
    def data(self):
        return self.data

    @property
    def K(self):
        return self.__K

    @property
    def alpha(self):
        return self.__alpha

    @property
    def eigenvalue(self):
        return self.__value

    def kernels(self, label, pra):
        """
        数据是一维的时候可能有Bug
        :param label: 1:多项式;2:exp
        :param pra:1: d; 2: sigma
        :return: 函数 或报错
        """
        if label is 1:
            return lambda x, y: (x @ y) ** pra
        elif label is 2:
            return lambda x, y: \
                np.exp(-(x-y) @ (x-y) / (2 * pra ** 2))
        else:
            raise TypeError("No such kernel...")

    def center(self):
        """中心化"""
        oldK = np.zeros((self.__n, self.__n), dtype=float)
        one_n = np.ones((self.__n, self.__n), dtype=float)
        for i in range(self.__n):
            for j in range(i, self.__n):
                x = self.__data[i]
                y = self.__data[j]
                oldK[i, j] = oldK[j, i] = self.kernel(x, y)
        return oldK - 2 * one_n @ oldK + one_n @ oldK @ one_n

    def processing(self):
        """实际上就是K的特征分解,再对alpha的大小进行一下调整"""
        value, alpha = np.linalg.eig(self.__K)
        index = value > 0
        value = value[index]
        alpha = alpha[:, index] * (1 / np.sqrt(value))
        self.__alpha = alpha
        self.__value = value / self.__n

    def score(self, x):
        """来了一个新的样本，我们进行得分"""
        k = np.zeros(self.__n)
        for i in range(self.__n):
            y = self.__data[i]
            k[i] = self.kernel(x, y)
        return k @ self.__alpha





"""

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = x ** 2 + [np.random.randn() * 0.1 for i in range(100)]
data = np.array([x, y]).T

test = KernelPCA(data, pra=1)
test.processing()
print(test.alpha.shape)
print(test.alpha[:, 0])

"""