1一对一关系,作为一对多关系的一个特殊的种类
其形式定义可以从一对多的关系导出:它们可以定义为一对多的关系,而此一对多的关系又为另一对多的关系的逆关系，也就是，既是一对多又是多对一的关系。
至于一对多的关系可以定义为:如果x与y有所说的关系,则没有其它的项x'也与y有此关系。一对多的关系或者还可以定义如后:给定一关系与两项x和x'，x与之有给定关系的各项和x'与之有此关系的各项之间并无共同分子。
又或我们可以利用“关系积”(relative product)来定义一对多的关系,所谓R与S二关系的“关系积”仍是一关系:如在x与z之间有一中间项y,使得x与y有R关系，y与z有S关系，则称x与z有此关系;至于一对多的关系即是一关系与其逆关系的关系积包含等同关系。
x与y有所说的关系、x与之有给定关系的各项，这里的x处于关系的前域：所有与别的东西有某给定关系的各项所形成的类叫做这关系的前域。一对多就是x的唯一确定对于y的多项可能的相应。比如平方关系，x是y的平方，相应于一个非负数x，相应的y可以是其平方根的正值和负值所构成的二元类。x和正负根号x之间就是一对多的相应关系。一对多指的是应变元和自变元之间的相对。
多对一则是相反的情况，比如父母关系。和同一个人a具有父母关系的不是一个人而是2人：其父和其母。应变元和自变元之间就是多和一的关系。
与习惯的y=f（x）相反。后者y是前域的项。这个数学里的关系，可以表示为y与x有f（）关系。
x与y有所说的关系、x与之有给定关系的各项，这里的x是一对多关系里的不变的那个东西。在多个与同一个项有同一个关系的情况里，这同一个项是这关系的前域。一对多关系还有一种刻画，这同一项作为关系的前域其相应的后域，或者说x与之有关系的项指谓一个类，这个类构成关系的后域。而这个类的诸多成员作为与同一个项相对的多。
从前面第一段话第一句，一对一的关系定义为既是一对多又是多对一的关系。一对多关系在于一个关系中关系的一个值同时相应于的构造中自变元的多个。反过来，多对一，则是多值相应于同一个自变元。比如父母亲关系。两者的交集，就是关系中一对一的情况。
一对多 多对一，谈的都是关系的性质。代数方程里使得句子为真的y的取值和x的取值作为其根之间，就是一对多的关系。这关系里，y的取值作为前域，x的取值作为关系的后域。
而摹状词或a的b里，整体的指谓作为前域，而a作为后域，考虑它们之间的关系。摹状词作为一对多的关系，在于可以基于不同的能指指称相同的所指。句子意谓真再这个意义上也可以看作摹状词，它不是通常意义而言的。通常而言的摹状词比如罗素的父亲，它指称某人，这是经验对象。而句子意谓真，真是逻辑而非经验对象。它们是综合命题和分析命题的区别。但是句子意谓真，是对于命题提出来的先天诉求。一个句子是否意谓真，这还是不一定的。句子也可以不真或假。但是，假毕竟再着眼上作为真的对立面，还是基于真的眼光而有的。因此，一个句子意谓真，一层含义是就逻辑而言，这里突出真有别于别的经验的东西，另一层是经验判断的落定于真而非假。
错误的理解：
一对多的关系即是一关系与其逆关系的关系积包含等同关系:比如，a的父亲的儿子，包含a，或者说它作为类包含a这个项。等同关系，就是包含a=a，这个类下包含a这个项，而a和前面关系积的后域a之间是等同关系。包含等同关系，就是这个关系作为a和某个包含a的类之间的关系。对于这个关系的刻画，是先给出处于关系中的不同项，然后指出基于一对多关系的特点所带来的一关系与其逆关系的关系积所必然具有的特点，这特点可以用于作为一对多关系的刻画或定义。如此这般的关系，即一对多的关系。
一对多的关系，a的父亲，这里作为前域的是这个表达式的指称，其后域是a。所指不作为表达式中部分的所指，而是整体的所指。而一关系与其逆关系的关系积包含等同关系，揭示的是这个关系的后域，和前域处于逆关系下的后域所产生出来的其前域的可能性空间，它作为一个类，原关系的后域处于这个类下，这就指示原关系的一对多的性质。一对多关系的前域，对于这关系和其逆关系的关系积，对这关系积整体作为一个关系，包含等同关系。
在语言的表达式里，前域是所指的含义，后域是其中的自变元。这里先不考虑命题函项。只就摹状词而言。在命题的情况里，关系作为命题，有2种情况。一种是给出关系命题，比如2比1大。这里2是前域，1是后域，关系是比较大。
和摹状词比较，罗素的父亲。其指称的那个人是前域，它和它的孩子之间是一对多的关系。或者说，罗素和它父亲的孩子之间是有从属关系或主谓关系。
区别从事物到语言和从语言到事物的不同。从事物到语言是单独在先给出不同对象，然后来考虑它们之间的关系。从语言到事物，比如摹状词，考虑表达式与其意谓之间的关系。前者关系的内容是经验的，后者关系的内容是固定的。
在讨论关系时，审视讨论的是什么关系。罗素的文本讨论的是什么关系？
例如，设R为父亲对儿子的关系,又令R关系与其逆关系的关系积为S,x与z之间有S关系即是另有一y，x与y有R关系即x是y的父亲，又y与z有R的逆关系,即y是z的儿子,显然，在这个情形中，x与z必是同一人。
x与y有R关系比如x是y的父亲。x=R（y）。
父母的孩子的父母、父亲的孩子的父亲。这里考验的是关系R本身的一对多带来其和逆关系的积包含等同关系。关系积作为关系，其前域是一，那么它包含等同关系或构造等同关系。其前域多，带来的就不是等同而是项对于类的归属。
在一对一关系的情形下不仅一关系与其逆关系的关系积包含等同关系，即此逆关系与关系本身的关系积也包含等同关系。
给定一关系R,如x与y有R关系,我们可以作一个方便的设想,把y看作是从x经“R-步”而达到的;同样,x可由y“后退R-步”而达到。R-步后继之以后退R-步一定把我们带回到原来的出发点,这是我们已经说过的一对多的关系的特征。但是其它关系，就决不会有这样的情形;例如设R为子女对父母的关系,R关系与其逆关系的关系积是“自己或兄弟姊妹”的关系，又如R是孙子孙女对祖父母的关系,则R与其逆关系的关系积是“自己或兄弟姊妹或堂兄弟姊妹”的关系。
“R-步”：“R-step”，“R-步骤”。
这里，看起来对于关系的理解出了问题。
给定一关系R,如x与y有R关系,我们可以作一个方便的设想,把y看作是从x经“R-步骤”而达到的。
这样看，y=R（x），x是自变元。
接着看文本随后举例：例如设R为子女对父母的关系,R关系与其逆关系的关系积是“自己或兄弟姊妹”的关系。
这里的R其后域为a，前域就是a的父母。a的父母在R的逆关系里，置于自变元或后域，前域中的就是它的子女。这样，R关系与其逆关系的关系积是“自己或兄弟姊妹”的关系。
区分：R为x对y的关系和x与y有R关系
R is the relation of child to parent，翻译为R为子女对父母的关系。这里是对于R关系的定义。这里 to翻译为“到”更贴切，可以体现出前域后域的特征：
R为x到y的关系。
这样能贴合文本里：把y看作是从x经“R-步奏”而达到的。
这样再来看文本随后的举例就不会有歧义。因为 对 可以是一种对称的关系， 到 是非对称的关系，而这里讨论的关系是具有明确自变元和应变元的区分的关系中前域和后域之间的区别或非对称性。即使a和b是兄弟，谈论a是b的兄弟与b是a的兄弟，涵义是不同的。而这里讨论的就是涵义而非意谓层面上表达式的给出方式而言的区别或特性。语言在符号形式上的特征。
if x has the relation R to y,这里已经清楚指出x作为自变元，而y作为应变元的关系。no！不对。
前面那段R is the relation of child to parent，对于关系的内容的定义没有问题，关系R的自变元是孩子，应变元或函项的值是其父母。而这里x has the relation R to y，是对于R的运用而非定义的情况。
对于 x的R关系者：the R of x，或 the term having the relation R to x。罗素明确说：x是这函数的“自变数”(argament)。
并且如y是与x有R关系的项,或,y是x的R关系者,那么y即是对于自变数x而言的的数的“值”(value)。
因此，x has the relation R to y，这里的y是自变元。
R is the relation of child to parent，指出的是关系R的自变元是孩子角色，应变元是父母。而if x has the relation R to y，是给出关系R的一个实例，这个表达的理解，要遵从前面对于关系R的定义。x是自变元还是应变元？
我们若以“x的R关系者”看作数学意义上的一个函数,我们称x是这函数的“自变数”(argament),并且如y是与x有R关系的项,或,y是x的R关系者,那么y即是对于自变数x而言的的数的“值”(value)。设R为一对多的关系,则对于这函项,一切可能的自变数的范围或变程(range)即是R的后域，值的范围或变程即是前域;因而对于“x的父亲”这一-函项而言，所有可能的自变数的变程就是一切有父亲者,亦即,父亲关系的后城,至于一切可能的值的变程是所有的父亲,亦即,父亲关系的前域。
x的R关系者：the R of x，或 the term having the relation R to x。
在这里，罗素明确说：x是这函数的“自变数”(argament)。
并且如y是与x有R关系的项,或,y是x的R关系者,那么y即是对于自变数x而言的的数的“值”(value)。
2总结：
1)设R是父亲对儿子的关系。x与y有R关系即x是y的父亲。
2)给定关系R，如果x与y有R关系，可以把y看作是x经 R步骤 而达到的。
这两句话冲突么？
1)x与y有R关系比如x是y的父亲，从这个句子能断定哪个是自变元么？联系之前定义，y是自变元。
从2)，把y看作是x经 R步骤 而达到的。这里的R步骤怎么理解？有别于1)里把R看作函数的形式，那里已经预设了自变元y和应变元或函数的值x。而是在x和y之间是比如父亲和儿子的关系，这里是给出一个双空位的关系，嵌入任何x可以产生一个函数其值为y，或者y所产生一个函数其值为x。
x和y有R关系，可以把y看作是x经 R步骤 而达到的。可以这样。只是注意这时R步骤就是一个从给定x到确定y的过程，x作为自变元。
这里通过R步骤考虑的是从x到y的过程。而在谈论关系R时，y作为the term having the relation R to x，考虑的是x作为自变元的情况。
这样看，对于关系R的理解，在于辨别从什么到什么，辨别自变元和应变元或函数的值。在摹状词里，这点没有疑问。a处于关系R下，a的R，或a的R关系者，指称一个y。y作为a代入关系R的自变元后函数或摹状词的值或指称。
3设R为父亲对儿子的关系,又令R关系与其逆关系的关系积为S,x与z之间有S关系即是另有一y，x与y有R关系即x是y的父亲，又y与z有R的逆关系,即y是z的儿子,显然，在这个情形中，x与z必是同一人。
R为父亲对儿子的关系，放摹状词里，R关系就是“（）的父亲”。x与y有R关系即x是y的父亲。y与z有R的逆关系,即y是z的儿子。R的逆关系就是“（）的儿子”。R和R的逆关系，就是父亲和儿子的关系里，前者突出给出自变元或后域的项，讨论其父亲；后者讨论其儿子。关系R作为父亲对儿子的关系，已经强调父亲关系或（）的父亲。只是从字面上，不经意间可能理解为谈论（）的儿子。这一点在罗素关系R关系者的定义里得到了规定：y作为the term having the relation R to x，考虑的是x作为自变元的情况。这关系就是作为摹状词的：x的R。
ai：
用户描述的关系 R 可以形式化为离散数学和图论中的有向图概念：其中元素（如 x 和 y）视为图的节点，R 关系则对应于节点间的有向边。具体来说：
前进 "R-步"：如果 x 与 y 存在 R 关系（记作 xRy），则相当于在有向图中存在一条从 x 指向 y 的边，表示 y 是从 x 出发经一个 "R-步" 直接达到的后继节点。
后退 "R-步"：如果从 y 后退到 x，则对应于逆关系 R⁻¹（即 yR⁻¹x），表示沿着原方向的逆向移动；这相当于在有向图中添加反向边或考虑关系的对称性，但前提是 R 关系本身允许逆操作（例如，若 R 是函数关系，逆可能不一定存在）
注意， x 与 y 存在 R 关系（记作 xRy），和x作为y的R关系者的区别。后者在于从y到x。而前进 "R-步“在于从x到y。所以，从这里也可以看到 x作为y的R 关系者，R关系作为函数起到作为从y（自变元）到x（前域的值）的过渡。而 xRy中的"R-步"，在于从x到y，相当于函数中的R关系的逆关系。
回到上下文，一对多的关系，包含前面谈到过的相似关系。或者说，相似关系是一对多的：就相似关系下的项构成的类和它们之间相等的东西之间多和一的关系而言。
4为方便起见，我们称关系由之出发的项为关系者(referent),称关系所及的项为被关系者(relatum)。如x和y是丈夫和妻子,那么对于“丈夫”关系而言,x是关系者,y是被关系者,但是对于“妻子”关系而言,”是关系者,x是被关系者。
在一对多关系里，关系者是一。被关系者是多。
从这段可以看到，关系由之出发的项为关系者，联系
“给定关系R，如果x与y有R关系，可以把y看作是x经 R步骤 而达到的。”
对于“R步骤”的语法就明确了。
5一关系有一个“意义”这是一个基本的事实，它也就是为什么次序能由适当的关系产生的部分原因。
注意，一给定关系的一切可能的关系者所形成的类是此关系的前域,一切可能的被关系者所形成的类是它的后域。
