多极展开（Multipole expansion）:（一）简单推导

这次我们简单推导一下多极展开(Multipole expansion)。
我们现在有一个电荷分布函数 $\rho(\textbf{r})$ ，要求这个电荷密度分布下的库伦势函数 $V(\textbf{r})$ ：
$V(\textbf{r}) = \int \frac{\rho(\textbf{r}^\prime)}{\left| \textbf{r}-\textbf{r}^\prime\right|} d^3r^\prime \tag{1}$
如果电荷密度 $\rho(\textbf{r})$ 的对称性比较好，那么我们还是有可能纯靠纸笔就能把上边积分搞定的。然而，现实并不总是那么美好。这时，我们就该用级数展开的办法。上式子中，关键的部分为 $\frac{1}{\left| \textbf{r}-\textbf{r}^\prime\right|}$ ，多极展开的功能也正在于此。这里，我们设 $r>r^\prime$
$\begin{equation} \begin{split} \frac{1}{\left| \textbf{r}-\textbf{r}^\prime\right|}& = \frac{1} {\sqrt{r^2-2rr^\prime cos(\theta) + {r^\prime}^2} } \\ &= \frac{1}{r}\cdot \frac{1}{ \sqrt{ 1-2\frac{r^\prime}{r} cos\theta + (\frac{r^\prime}{r}) ^2 } } \end{split} \end{equation} \tag{2}$
为了写起来方便，设 $\epsilon = -2\frac{r^\prime}{r}cos(\theta)+(\frac{r^\prime}{r})^2$ ，上边的式子就变成 $\frac{1}{\left| \textbf{r}-\textbf{r}^\prime\right|} = \frac{1}{r}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon}}$ 。我们知道，对于形如 $(1+\epsilon)^s$ (这里 $\epsilon\ll1$ )的式子在 $\epsilon=0$ 处泰勒展开如下：
$(1+\epsilon)^s=1+\frac{s}{1!}\cdot \epsilon +\frac{s(s-1)}{2!}\cdot \epsilon ^2 + \frac{s(s-1)(s-2)}{3!}\cdot \epsilon ^3 + ... \tag{3}$
而这里的情形是 $s=-\frac{1}{2}$ ，把上式代入等式(2)中得到
$\begin{equation} \frac{1}{\left| \textbf{r}-\textbf{r}^\prime\right|} = \frac{1}{r} \cdot \left[ 1- \frac{1}{2}\epsilon + \frac{3}{8}\epsilon^2 - \frac{5}{16}\epsilon^3 + ...\right] \tag{4} \end{equation}$
同样，对上式中的 $\epsilon = -2\frac{r^\prime}{r}cos(\theta)+ (\frac{r^\prime}{r})^2$ 进行一下调整。令 $\alpha = \frac{r^\prime}{r}$ 以及 $x = cos\theta$ ，这样 $\epsilon = -2\alpha x+\alpha^2$ 。把这个再放回等式(4)中：
$\begin{equation} \begin{split} \frac{1}{\left| \textbf{r}-\textbf{r}^\prime\right|} =& \frac{1}{r}\cdot \left[1+\frac{1}{2}(\alpha^2 - 2\alpha x) + \frac{3}{8} (\alpha^2-2\alpha x)^2 - \frac{5}{16}(\alpha^2 - 2\alpha x)^3 + ... \right] \\ = & \frac{1}{r} \cdot \left[ 1 + \alpha x + \alpha^2 (\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}) + \alpha^3(\frac{5}{2}x^3-\frac{3}{2}x)+ .... \right] \end{split} \end{equation} \tag{5}$
上式中最后一步是将 $\alpha$ 具有相同指数的项放在了一起。仔细观察你会发现有些东西比较面熟。下边给个提示：
观察一下下边的勒让德多项式：
$\begin{equation} \begin{split} P_0 (x)= & 1\\ P_1(x) =& x \\ P_2(x) = &\frac{1}{2}(3x^2-1) \\ P_3(x) = & \frac{1}{2}(5x^3-3x) \\ .... & \end{split} \end{equation}$
似乎我们可以把相应的勒让德多项式代入式(5)中：
$\frac{1}{\left| \textbf{r}-\textbf{r}^\prime\right|} = \frac{1}{r}\cdot \sum_{l=0}^\infty (\frac{r^\prime}{r})^l P_l(cos\theta)$
我们最终的目的是要求电子密度函数产生的库伦势函数，这样我们有：
$V(\textbf{r}) = \sum_{l=0}^\infty \frac{1}{r^{l+1}}\int \rho(\textbf{r}^\prime) {\textbf{r}^\prime}^l P_l(\hat{\textbf{r}}\cdot\hat{\textbf{r}}^\prime) d^3 r^\prime$
这里注意 $cos\theta$ 是 $\textbf{r}$ 和 $\textbf{r}^\prime$ 的夹角的余弦，因此勒让德多项式 $P_l(cos\theta) = P_l(\hat{\textbf{r}}\cdot\hat{\textbf{r}}^\prime)$
此外，这里定义了一个物理量—— $2^l$ 极距：
$M_l(r)=\int {r^\prime}^l \rho(r^\prime) P_l(\hat{\textbf{r}}\cdot\hat{\textbf{r}}^\prime)$
也就是说，当 $l=0$ 时，为单极距；当 $l=1$ 时，为偶极矩；当 $l=2$ ，为四极矩；当 $l=3$ 时，为八极矩。以此类推。

最后编辑于：2019.08.13 01:04:42