洛必达法则_高数

洛必达法则

对于极限，
$\lim\limits_{\substack{x\to a \\ (x\to\infty) } }\frac{f(x)}{g(x)}$

对于未定式，也就是 $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty-\infty$ , $0\cdot\infty$ , $0^0$ , $0^\infty$ , $\infty^0$ , $1^\infty$ 等形式的极限，都可以直接或者变形后用洛必达法则进行计算。
注意：可以用等价无穷笑的先用等价无穷小代换后再计算

1. $\frac{0}{0}$ 型

例一：求极限 $\lim\limits_{\substack{x\to 0 } }\frac{x-tanx}{(sinx)^3}$

解：代价无穷小代换： $sinx\sim x$
$\lim\limits_{\substack{x\to 0 } }\frac{x-tanx}{(sinx)^3}$
$=\lim\limits_{\substack{x\to 0 } }\frac{x-tanx}{(x)^3}=\lim\limits_{\substack{x\to 0 } }\frac{(x-tanx)'}{(x^3)' }=\lim\limits_{\substack{x\to 0 } }\frac{1-sex^2x}{3x^2 }$
$=\lim\limits_{\substack{x\to 0 } }\frac{-tan^2x}{3x^2}=\lim\limits_{\substack{x\to 0 } }\frac{-x^2}{3x^2}$
$=-\frac{1}{3}$

$tanx^2=secx^2-1$

2. $tanx \sim x$

补充：常用等价无穷小 $x\to 0$ 时

$sinx \sim x$
$tanx\sim x$
$1-cosx \sim \frac{1}{2}x^2$
$arcsinx \sim x$
$arctanx \sim x$
$a^x-1 \sim xlina$
$e^x-1 \sim x$

点乘：\cdot
$a\cdot b$

叉乘:\times
$a\times b$

除以:\div
$a\div b$

~在Latex表示空格，可以用\sim转义代替
$A\sim B$

$$A\sim B$$

例二：求极限 $\lim\limits_{\substack{x\to 0 } }\frac{e^x+e^{-x}-2}{x-sinx}$

$\color{#ea4335}{ =\lim\limits_{\substack{x\to 0 } }\frac{e^x-e^{-x}}{1-cosx}(第一次使用洛必达法则)}$
$=\lim\limits_{\substack{x\to 0 } }\frac{e^x-e^{-x}}{\frac{1}{2}x^2}(等价无穷小:1-cosx\sim \frac{1}{2}x^2)$
$=\lim\limits_{\substack{x\to 0 } }\frac{e^x+e^{-x}}{x}(第二次使用洛必达法则) \color{#34a853 }{\rightarrow} \color{#34a853}{\frac{2}{0}}$
$=\infty$

2. $\frac{\infty}{\infty}$ 型

例三：求 $\lim\limits_{\substack{x\to +\infty } }\frac{lnx}{x^{\alpha}},(\alpha>0)$

解： $=\lim\limits_{\substack{x\to +\infty } }\frac{ {1}\over{x}}{\alpha x^{\alpha-1}}=\lim\limits_{\substack{x\to +\infty } }\frac{1}{ \alpha\cdot x^{\alpha}}=0$

$(x\rightarrow +\infty,x^{\alpha}\to \infty )$

3. $\infty-\infty$ 型

技巧：通分化简，通分，根式有理化；变量替换等方法转化为 $\frac{0}{0}$ 型，或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型再计算。

例四：求 $\lim\limits_{\substack{x\to \frac{\pi}{2}} }(secx-tanx)$

解：
$\lim\limits_{\substack{x\to \frac{\pi}{2}} }(secx-tanx)$
$=\lim\limits_{\substack{x\to \frac{\pi}{2}} }(\frac{1}{cosx}-\frac{sinx}{cosx})$
$=\lim\limits_{\substack{x\to \frac{\pi}{2}} }(\frac{1-sinx}{cosx})$
$=\lim\limits_{\substack{x\to \frac{\pi}{2}} }\frac{cosx}{sinx} \to \frac{0}{1}$
$=0$

4. $0 \cdot\infty$ 型

转化为 $\frac{0}{0}$ 型，或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型

例五：求 $\lim\limits_{\substack{x\to 0^+ } } sinxlnx$

解： $=\lim\limits_{{x\to 0^+ } } \frac{lnx}{1\over{sinx}}$

$=\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{lnx}{1\over{x}}=\lim\limits_{\substack{x\to 0^+ } } \frac{1\over{x}}{-{1\over{x^2}}}$

$=-\lim\limits_{\substack{x\to 0^+ } } x$
$=0$

5. $0^0,\infty^0,1^{\infty}$ 型

利用 $\lim f(x)^{g(x）}=e^{\lim g(x)lnf(x)}$ 转化为 $0 \cdot\infty$ ，再转化为 $\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型

例六：求 $\lim\limits_{\substack{x\to 0^+ } } x^{sinx}$

解： $\lim\limits_{\substack{x\to 0^+ } } x^{sinx}=e^{\lim\limits_{\substack{x\to 0^+ }}sinxln(x) }$
$=e^o=1$

例七：求 $\lim\limits_{\substack {x\to 0^+} } (1+cotx)^{{1}\over{lnx}}$

解： $=e^{\lim\limits_{\substack {x\to 0^+} } {{1}\over{lnx}}ln(1+cotx) }$

$=e^{\lim\limits_{\substack {x\to 0^+} } \frac{ln(1+cotx)}{lnx} }=e^{\lim\limits_{\substack {x\to 0^+} } \frac{ln(1+cotx)'}{(lnx)'} }$

$=e^{\lim\limits_{ {x\to 0^+} } {\left. {(\frac{-csc^2x }{1+cotx})} \middle / (\frac{1}{x})\right.} }$

$=e^{\lim\limits_{\substack {x\to 0^+} } {\left. {-x}\middle /{(sin^2x+sinxcosx)} \right.} }=e^{\lim\limits_{\substack {x\to 0^+} } {\left. {-x}\middle /{sinx(sinx+cosx)} \right.} }$

$=e^{\lim\limits_{\substack {x\to 0^+} } {\left. {-1}\middle /{(sinx+cosx)} \right.} }$

$=e^{-1}$

函数图像

Reference：

高数｜洛必达法则的基础与进阶
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最后编辑于：2019.12.01 12:20:03

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