前言
由于课题需要，最近在b站学习生物学相关的数学建模方法，链接在这里，需要可以一起去观摩学习1. UC Irvine OpenCourseWare_哔哩哔哩_bilibili。在这个贴子中，记录个人学习过程，以及学习过程中遇到的一些问题与想法。欢迎大家一同讨论，如果我哪里的描述有问题或不够详细，欢迎指出，我会及时改正。
这个课程的配套教材是由Leah Edelstein-Keshet 主编的教材《Mathematical Models in Biology》，教材在视频描述中有链接可以下载。课程内容以及本帖中学习内容为教材的第二部分，连续过程与微分方程。也就是说，本系列贴主要是围绕连续过程进行研究的。
从种群增长模型开始
故事的起始，是研究一群细菌在某环境下，会随时间的变化产生出怎样的种群变化。换句话说，我们要研究的是细菌数目随时间的变化率。最常见的情形，就是我们在实验室摇了一管大肠杆菌或一瓶酵母菌。为了便于研究，我们定义细菌个数为N，单位可以是“个”。对于最基础的模型，我们假定一个常数K，定义为单位时间内细菌繁殖率，单位则可以是“1/time”。如果不考虑死亡以及食物问题，我们可以得到最基础的种群生长模型。（这个方程最早在1789年由经济学家马尔萨斯提出，又被称作马尔萨斯模型，该模型指出了人口的指数级增长）
将dt乘到等式右边，N除到等式左边，对这个方程两边同时进行0到t 的积分，可以得到解：
其中A=N (0) 再次强调，其中K的单位为1/time，N的单位为个。根据这个方程，我们已经可以进行一些计算与推断。比如，细菌的倍增时间可以通过
计算。求得解为:
所以，我们可以得到结论: 种群增长速度与参数K成反比。
从生物学角度，我们要明确几个问题：
1. 随种群的增长，种群的增长率并不是一成不变，而是随种群密度上升，食物限制等因素逐渐减小。在试管中，大肠杆菌的生长速率会逐渐变慢。
2. K应该是一个与时间相关的函数。通常来讲，我们很难测定K的大小，但我们可以判断它与种群密度直接或间接相关，更加细节的部分我们会在后面讨论。
3.种群的增长直接依赖食物的消耗，这里我们可以合理地假设K与食物浓度呈正比：
我们进一步假设每产生一份人口增量需要消耗α单位的营养，则有
解得
将C(t)代入dN/dt，解方程后可得：
其中
,
,
.
在该模型中：
这个模型被称作logistic growth。在1969年被Gause研究酵母菌的生长时提出：
