再学习具体的内容之前，我们先思考一个问题。有了如此高效的散列表，为什么还需要二叉树？
一、什么是二叉查找树
二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型，也叫二叉搜索树。顾名思义，二叉查找树是为了实现快速查找而生的。
二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。
二、二叉树的增删改查
1. 二叉查找树的查找操作
首先，我们看如何在二叉查找树中查找一个节点。我们先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。
class Node {
constructor(value){
this.value = value;
this.left = null;
this.right = null;
}
}
class SearchTree{
constructor(){
this.root = null;
}
}
find(data){
let p = this.root;
while(p != null){
if(data < p.data) {
p = p.left ;
} else if(data > p.data){
p = p.right;
} else {
return p;
}
}
return null;
}
2. 二叉查找树的插入操作
如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。
insert(data){
let p = this.root;
while(p != null){
if(data > p.data){
if(p.right = null){
p.right = new Node(data);
return;
}
p = p.right;
}
if(data < p.data){
if(p.left = null){
p.left = new Node(data);
return;
}
p = p.left;
}
}
}
3. 二叉查找树的删除操作
二叉查找树的查找、插入操作都比较简单易懂，但是它的删除操作就比较复杂了 。针对要删除节点的子节点个数的不同，我们需要分三种情况来处理。
第一种情况是，如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为 null。比如图中的删除节点 55。
第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点 13。
第三种情况是，如果要删除的节点有两个子节点，这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。
4. 二叉查找树的其他操作
除了插入、删除、查找操作之外，二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。
二叉查找树除了支持上面几个操作之外，还有一个重要的特性，就是中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是 O(n)，非常高效。因此，二叉查找树也叫作二叉排序树。
5.支持重复数据的二叉查找树
前面讲二叉查找树的时候，我们默认树中节点存储的都是数字。很多时候，在实际的软件开发中，我们在二叉查找树中存储的，是一个包含很多字段的对象。
我们利用对象的某个字段作为键值（key）来构建二叉查找树。我们把对象中的其他字段叫作卫星数据。前面我们讲的二叉查找树的操作，针对的都是不存在键值相同的情况。那如果存储的两个对象键值相同，这种情况该怎么处理呢？我这里有两种解决方法。
第一种方法比较容易。二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上。
第一种方法是每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入数据的值相同，我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是说，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。
当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，我们并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。
对于删除操作，我们也需要先查找到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作的方法，依次删除。
remove(data){
let p = this.root; // 指向要删除的节点，初始化指向节点
let pp = null; // pp记录的是p的父节点
let child = null; // 要删除节点的子节点
p = this.find(data)
// 要删除的节点有两个自节点
if(p.left != null && p.right != null){
let minP = p.right;
let minPP = p; // minPP表示minP的父节点
while(minP.left != null){
minPP = minP;
minP = minP.left;
}
p.data = minP.data; // 将minPP的数据替换到p中
p = minP; // 下面变成了删除minP了
pp = minPP;
}
// 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
if(p.left != null){
child = p.left;
} else if(p.right != null){
child = p.right;
} else {
child = null;
}
if(pp == null) this.root = child; //删除的是跟节点
else if(pp.left == p) pp.left == child;
else pp.right = child
}
三、二叉查找树的时间复杂度分析
实际上，二叉查找树的形态各式各样。比如这个图中，对于同一组数据，我们构造了三种二叉查找树。它们的查找、插入、删除操作的执行效率都是不一样的。图中第一种二叉查找树，根节点的左右子树极度不平衡，已经退化成了链表，所以查找的时间复杂度就变成了 O(n)。
我刚刚其实分析了一种最糟糕的情况，我们现在来分析一个最理想的情况，二叉查找树是一棵完全二叉树（或满二叉树）。这个时候，插入、删除、查找的时间复杂度是多少呢？
从我前面的例子、图，以及还有代码来看，不管操作是插入、删除还是查找，时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是 O(height)。既然这样，现在问题就转变成另外一个了，也就是，如何求一棵包含 n 个节点的完全二叉树的高度？
树的高度就等于最大层数减一，为了方便计算，我们转换成层来表示。从图中可以看出，包含 n 个节点的完全二叉树中，第一层包含 1 个节点，第二层包含 2 个节点，第三层包含 4 个节点，依次类推，下面一层节点个数是上一层的 2 倍，第 K 层包含的节点个数就是 2^(K-1)。
不过，对于完全二叉树来说，最后一层的节点个数有点儿不遵守上面的规律了。它包含的节点个数在 1 个到 2^(L-1) 个之间（我们假设最大层数是 L）。如果我们把每一层的节点个数加起来就是总的节点个数 n。也就是说，如果节点的个数是 n，那么 n 满足这样一个关系：
n >= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+1
n <= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+2^(L-1)
借助等比数列的求和公式，我们可以计算出，L 的范围是[log2(n+1), log2n +1]。完全二叉树的层数小于等于 log2n +1，也就是说，完全二叉树的高度小于等于 log2n。
显然，极度不平衡的二叉查找树，它的查找性能肯定不能满足我们的需求。我们需要构建一种不管怎么删除、插入数据，在任何时候，都能保持任意节点左右子树都比较平衡的二叉查找树，这就是我们下一节课要详细讲的，一种特殊的二叉查找树，平衡二叉查找树。平衡二叉查找树的高度接近 logn，所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定，是 O(logn)。
四、解答开篇
我们在散列表那节中讲过，散列表的插入、删除、查找操作的时间复杂度可以做到常量级的 O(1)，非常高效。而二叉查找树在比较平衡的情况下，插入、删除、查找操作时间复杂度才是 O(logn)，相对散列表，好像并没有什么优势，那我们为什么还要用二叉查找树呢？
第一，散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。而对于二叉查找树来说，我们只需要中序遍历，就可以在 O(n) 的时间复杂度内，输出有序的数据序列。
第二，散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，我们最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在 O(logn)。
第三，笼统地来说，尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，这个常量不一定比 logn 小，所以实际的查找速度可能不一定比 O(logn) 快。加上哈希函数的耗时，也不一定就比平衡二叉查找树的效率高。
第四，散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。
最后，为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决冲突的散列表，不然会浪费一定的存储空间。
五、思考题
如何通过编程，求出一棵给定二叉树的确切高度呢？
确定二叉树高度有两种思路：第一种是深度优先思想的递归，分别求左右子树的高度。当前节点的高度就是左右子树中较大的那个+1；第二种可以采用层次遍历的方式，每一层记录都记录下当前队列的长度，这个是队尾，每一层队头从0开始。然后每遍历一个元素，队头下标+1。直到队头下标等于队尾下标。这个时候表示当前层遍历完成。每一层刚开始遍历的时候，树的高度+1。最后队列为空，就能得到树的高度。
下面是完整的代码，使用JavaScript，您可以参考一下，还是有一点难度的。
class Node {
constructor(value){
this.value = value;
this.left = null;
this.right = null;
}
}
/**
* 搜索二叉树
* 允许重复添加
* 实现有点弯弯绕绕
*/
class SearchTree{
constructor(){
this.root = null;
}
insert(num){
let node = new Node(num);
if(this.root === null){
this.root = node;
return
}
let parent = this.getPrev(num);
if(num < parent.value){
parent.left = node;
} else {
parent.right = node;
}
}
getPrev(num, find = false){
let point = this.root;
let res = [];
while(true){
if(point.left){
if(num < point.value || num < point.left.value){
point = point.left;
continue
}
}
if(point.right){
if(num >= point.value || num >= point.right.value){
// 搜索时如果有多个值，则缓存
if(find && num === point.value){
res.push(point.value)
}
point = point.right;
continue
}
}
// 如果是搜索
if(find){
if (point.value === num) {
res.push(point.value)
}
if(res.length === 0){
return null
}
if(res.length === 1){
return res[0]
}
return res;
}
// 如果是添加，返回的是应该添加的各节点的父节点
return point;
}
}
remove(num){
let point = this.root;
let parent = null;
let tree = this;
let res = null;
while(true){
if(point.left){
if(num < point.value || num < point.left.value){
parent = point;
point = point.left;
continue
}
}
if(point.right){
if(num >= point.value || num >= point.right.value){
if(num === point.value){
delMethod(point, parent);
if(parent === null){
point = this.root;
} else {
parent = parent;
point = parent.right;
}
res = true;
continue
}
parent = point;
point = point.right;
}
}
if(point.value === num){
res = true;
delMethod(point, parent)
}
break;
}
return res;
function delMethod(delNode, parent){
let p = delNode; // p指向要删除的节点
let pp = parent; // pp记录的是p的父节点
// 要删除的节点有两个子节点
// 查找右子树中最小节点
if(p.left != null && p.right != null){
let minP = p.right;
let minPP = p; // minPP表示minP的父节点
while(minP.left != null){
minPP = minP;
minP = minP.left;
}
p.value = minP.value;// 将minP的数据替换到p中
p = minP; //下面就变成了删除minP了
pp = minPP;
}
// 删除的节点是叶子节点或者仅有一个子节点
let child; // p的子节点
if(p.left != null){
child = p.left;
} else if(p.right != null){
child = p.right
} else {
child = null
}
if(pp == null){
tree.root = child;
} else if(pp.left == p){
pp.left = child;
} else {
pp.right = child;
}
}
}
//中序遍历
print(){
let point = this.root;
if(point){
printAll(point.left)
console.log(point.value)
printAll(point.right)
}
function printAll(point){
if(point === null){
return
}
printAll(point.left)
console.log(point.value)
printAll(point.right)
}
}
find(num){
if(this.root === null){
this.root = new Node(num)
return
}
return this.getPrev(num, true)
}
}
function baseTest(){
let searchTree = new SearchTree()
console.log('step 1:')
searchTree.insert(4);
searchTree.insert(1);
searchTree.insert(2);
searchTree.insert(5);
searchTree.print();
console.log(searchTree)
console.log('step 2:')
console.log('5', searchTree.find(5)) //5
console.log('null:', searchTree.find(6)) //null
searchTree.insert(5);
searchTree.insert(5);
console.log('5,5,5:', searchTree.find(5))
}
// baseTest()
//删除测试
function delTest() {
let searchTree = new SearchTree();
console.log('add: 4 1 2 5 ')
searchTree.insert(4);
searchTree.insert(1);
searchTree.insert(2);
searchTree.insert(5);
searchTree.print(); //1 2 4 5
//console.log('del 3 null:', searchTree.remove(3));
console.log('del 1 true:', searchTree.remove(1));
searchTree.print(); //2 4 5
}
delTest()
