函数，是在初中下半学期所最先接触到的新的数学概念，在此之前从未出现过，那么，函数到底是一个怎样的概念呢？它的名字中含有数，但具体到底是数还是两个数之间的关系？函数又在生活中有着哪些应用，会出现在生活中的哪些地方呢？又会延伸出哪些新的知识点呢？本篇文章，便让我们探索一下函数吧：

      说到和函数有关的数学概念，最绕不开的就是量了，而量又分为两种，分别是变量和定量，变量就是在一个变化过程中，含义不变，但是数字改变的量。直接说性质可能有点不太好理解，那我就再去一些现实中的例子吧：你要去买练字本，一本练字本¥20。你要买一本练字本，要花¥20，要买两本练字本，要花¥40，要买三本练字本，则要花¥60，以此类推，你每买一本练字本，要付的价钱就要多¥20，所以你要买这些练字本所花的总价一直在变化，但是虽然总价的数值在变化，但它的含义还是买练习本所画的总价，从没有变成别的东西的，总价或者变成一个单价，那么我们就称买练习本所花的总价为变量。再比如，一天中的温度总是在变化，但是这些变化后的量还是那一天中的温度，所以温度是一个变量。定量呢？则是和变量差不多的，可数值不会发生变化的量，比如一本练字本的单价是¥40，如果不进行打折促销活动，它的单价便固定为40元，而不会像变量一样随随便便动来动去，那么，这种练字本的单价便是一个定量。

    成功区分变量和定量，我又发现在变量之中也有两个分支，分别是自变量和因变量，自变量和因变量是一串串在一起的量，互相关联，而因变量会随着自变量的改变随之改变，自变量和因变量在现实中出现的例子有很多，为了前后统一，还是举练习本的例子：练习本的总价和练习本的个数都是变量，也就是数值会变而意义不会变的量，只要细心观察，便可以从它们两个变量中发现一种先后关系：只有练习本的个数这个变量改变了，才会让练习本的总价改变，练习本的总价的改变是基于练习本的个数的改变之上的，是受限制于练习本的个数的，因此，练习本的个数是自己改变的量，也就是自变量，练习本的总价是因为练习本的个数而改变的量，也就是因变量。

    讲完那么多量，我们便可以将函数的谜底揭晓，函数其实并不是一个数，而是指两个变量之间的关系，（是不是非常奇妙？一个名字中带有数的概念，竟然不是数，而是关系，具体的定义为：在一个变化过程中，有两个变量，自变量X与因变量Y，且对于自变量X的任意一个值，因变量Y都有唯一的值与之对应，那么我们称Y是X的函数。请大家回想一下之前举过的例子，是不是任意一个练字本的个数都对应着一个练字本的总价，如果练字本的个数为二，那么它的总价就唯一一定是40，如果练字本的个数为三，那么它的总价就惟一一定是60，其余的例子也都符合这种情况。函数可以在平面直角坐标系上清晰地表示出来：下面是练字本的个数，以练字本的总价之间的函数图像：

      从函数图像中，我们仍然可以看得到上面函数的每一个自变量和因变量所延伸出来的线都只会相交于一个点上，也就代表了其对应的关系。

    清楚地知道函数到底是什么后，又有一个问题扑了过来：有什么常用的方法可以表示函数关系呢？其实，有三种普遍的方法，可以表示函数关系。

      第一个：列表法

      列出一个表格，再分别将自变量和因变量描绘在表格的上下方，并且将对应的函数放在上下位置，如此，只需一眼就可以清楚地看出自变量和因变量分别是什么，自变量和因变量有什么关系，两者之间的数值是什么，非常的清晰明了，画起来也相对简单，可是却有一个很大的缺点，无法快速表示表格中的函数属于哪种函数（是正比例函数或者反比例函数，无法快速表明）还只能关注在表格里的几个数值，无法进行大面积观察。

    第二个：表达关系式

    在练习本的例子里，可以将自变量和因变量的函数关系归结为一个关系式：y=20x，只需要短短的一个式子，便可以将这个函数关系中的任何事物都表达出来，只需要套用关系式，便可以套出此类函数的任意一种可能，表达清晰，简单明了，符合数学的简洁性，并且还可以快速地辨认它到底属于哪种函数，是一种异常完美的表述方法，可惜有些函数无法用关系式表示，比如说，一天的时间和气温之间的函数，老师会教课的程度和学生的成绩，就无法确切地用一个关系式来总结，（如果可以用一个关系是来总结那还要天气预报和教育局干啥）

    第三个：平面直角坐标系表达：

      画出一个平面直角坐标系，并且确定横纵轴，并分别将自变量和因变量的数值画在数轴上，并依次连线画点，将一各个平面直角坐标系的小点用线相连，便顺利表达出了想表达的函数关系式。此类表述方法表达清晰，虽然找到自变量和因变量线的交汇点所代表的数值可能会有些困难，但仍然相对来说比较简单，而且一各个小点相连后会显示出一种图案，只要根据图案进行判断，便可以很快地判断出这个函数是哪种函数，是最形象的一种表达函数的方法，通俗易懂。不过，画平面直角坐标系可就没有那么简单了，其工作量是前面两种方法之和的两倍还要多。

      函数当然也分很多种种类，根据刚刚学到的表达函数式的方法，尝试着将几组函数y=2x+3，y=2x平方+2，y=2x几组函数画进函数图像里，你发现了什么？是不是发现y=2x+3和y=2x的函数图像呈直线，而另外一个函数的图像则成不规则线，因为成直线函数图像的函数的特殊性，我们将这种函数图像为直线的函数叫做一次函数，这种函数还有一种特点：函数关系式总是符合这个格式：y=kx+b（k不等于0）而且其系数总是为一（正比例函数是特殊的一次函数，在正比例函数中，b=0），接下来的探索便主要围绕着一次函数展开。

    主要研究一次函数，肯定绕不开研究一次函数的性质了，既然我们发现一次函数的特殊就是用的函数图像，那么这次研究一次函数的性质，也可以利用图像进行数形结合研究。

    确定要围绕着函数图像展开的数形结合方法，在开始讨论性质之前，我们必须学会如何准确地绘制函数图像，假设给你一个随随便便的函数式，如何绘制他的函数图像呢？难道是直接画出平面直角坐标，然后再写出数值，最后再按照函数式里表达的关系进行描点？咋一看似乎没什么问题，细看就发现毛病了，首先，在不看函数式的情况下写出数值，这个数值到底能不能很合适的套用函数是是个问题（假设你把平面直角坐标系上的所有单位长度设为1厘米，但是函数式却是y=20x，这便不能很好地表示了），其次，在画完数值之后再套用函数式，也不太直观，要费很多脑筋，看这些问题也只是小问题是吧，那你就需要去亲身体验一下了，反正我是在没有用正确方法的时候绘图，觉得难到天都要塌下来了。

    这可怎么办呢？在经过探索之后，我终于发现了最合适的办法：首先，根据你得到的函数式，列出表格，将X与Y一一对应成数值，这样你就可以清晰的看到每一个x对应的y等于多少了。

      然后，根据表格里所列出来的数建立平面直角坐标系（这里的根据表格意思是根据表格里的数选取正确的象限，采取合适的坐标系单位长度）并根据先前在表格里的数于平面直角坐标系上描点。最后，将描成的点一一连线。这个过程简称为列表格，描点，连线。其中描点这一步已经包含了绘制平面直角坐标系这一步。

      这样，一个清晰明了的平面直角坐标系便产生了，不仅直观，也更加合理。

      接下来，该解决一次函数的性质问题了，第一个问题：对于一次函数图像，哪个点最特殊呢？有人肯定会说，那当然是原点呀，因为原点在四个象限的中心，处于x轴和y轴的交界点。但问题是，原点在任何函数图像里都存在，并且也没有显示出其独特的作用，实在难以说是最特殊的点。可最特殊的点到底是什么呢？

    请观察以上两幅函数图像简图，相信你就能发现一个特殊的点了，那就是函数图像和y轴的交点，以及函数图像和x轴的交点，在函数图像和y轴的焦点上，x轴的坐标为零。在函数图像和x轴的交点上，y轴的坐标为0，这两个点是整个函数图像中唯一与坐标轴相交的点。自然可见其特殊性，在每一副函数图像之中，都有一个这种特殊的，但其位置都各不相同。那么，这个点的位置和什么有关呢？

    一个函数y=2x+3 里，我们将2称做k，也就是这一个函数式里的系数，将3称作b，也就是这一个函数式里的除了X之外的数，难道K或b影响了两个特殊点的位置吗？看下列两个函数式：y=3x-3，y=4x-3，在这里面K不相同，但是b是相同的，所画的函数图像里与y轴的交点一样，y=3x-4，y=4x-3，这两个函数的函数图像与y轴的交点却不样，说明KB里只有B才能影响与y轴的交点，再进一步进行推演，在函数图像与y轴的交点中，X总等于零，当X等于零，那y轴的数值肯定就取决于B了，B是什么数，y轴就是什么数。B有三种可能性，一种是B大于0，这样的话所画出来的函数图像的交点就在y轴的正半轴，一种是B等于零，这样的话所画出来的函数图像的交点就在y轴与X轴的交点：原点，而此时的函数式也就是我们所熟知的正比例函数（从此以后我们说到正比例函数，就不要再用以前的规定方法：比值相等了，可以尝试着改用我们所发现的规律里的分法）最后一种是B小于0，这样的话说画出来的函数图像的交点就在y轴的负半轴。函数图像相交于X轴时，y=0，这时候X轴的坐标便取决于k和b两个数了，经过实验可以得知，当Y等于零，X轴的坐标等于-b➗k。

      当然，函数里的K也对函数图像有一定的作用，根据列表格可以得知，当K大于零，那么y轴就会随着X轴的变大而变大，如果此时画出函数图像的话，就会发现函数图像成斜向上趋势。当K小与零，那么y轴就会随着X轴的变大而变小，如果此时画出函数图像的话，就会发现函数图像成斜向下趋势。

        还是用这两幅简图做个类比，其中右边的图就是K大于零的图，图像斜向上往上走，y随x的变大而变大，左边的图就是K小与零的图，图像斜向下往下走，y随x的变大而变小（同时在重温一下刚才确定的b对函数图像的影响，右边的图相交于y轴的正半轴，所以这个图像所代表的函数式里的B大于0，左边的图相交于y轴的负半轴，所以这个图像所代表的函数式里的B小于0）

      有人看到这又会抛出一个疑问，为什么K不能等于零？其实动动脑筋就想得出来了，当K等于零，就整个函数式就没有了意义，连函数图像都不可能画出来。

      利用函数图像还可以解一元一次方程，以及一元一次不等式，是不是有点抽象呢？那让我列举三个一次函数关系式，0=x+1，0>x+1，0<x+1，其中的第一个式子是不是既可以作为一元一次方程来解，也可以看成是一次函数式？ 接下来，我们需要画出第一个式子的函数简图（因为这个式子里的k，b都>0，根据求出来的一次函数的性质，这一各函数式的简图是这样的：）

      很明显，0=x+1所对应的点就是以上简图的左边的那个点，利用解方程的方法，解出x=-1，在对应到图像上，也就能顺利地求出0=x+1对应的点的坐标：（-1，0），然后再观察这个一元一次不等式0>x+1，x+1都小于零了，说明x肯定小于-1，但是X并不是一个唯一确定的数，而是任意小于负一的数，这些任意小于负一的数与其唯一对应的y点的坐标点一直在X轴的下方，总结一句话就是：X轴下方的无端点射线与y轴的集合所对应的x的值，即是0>x+1的解集，反之亦然，X轴上方的无端点射线与y轴的集合所对应的X的值，即是0<x+1的解集，其中X永远大于-1。以上的这个式子因为K大于零，y随x的增大而增大，才得以有以上结果，如果K小于零，那么所得到的解集也会刚好相反，X大于-1，对应着x轴下方的无端点射线于y轴的集合，x小于-1，对应着X轴上方的无端点射线于y轴的集合。总之，只要你知道了这三个关系式中的一元一次方程的解，通过函数图像，总能判断出另外两个不等式的解集。

      不知道研究进行到了这一步，大家对KB了解的怎么样，可能仍旧有点模糊不清，这时候就需要带入一些生活中的例子了，就举一个汽车的例子吧，汽车离城市的距离以及汽车行驶的时间是一次函数，汽车行驶的时间是自变量，汽车离城市的距离是应变量，这个汽车一开始就离城市有60千米远，并且随后以每小时60千米的时速匀速开出城外，那么由此可以列出一次函数式：y=60x+60，其中的第一个60=一次函数中的k，第二个60等于一次函数中的b。那么在这一个实际情景中，b=什么？其实就是等于这个汽车最开始离城市的距离，也就是初始距离，在其他的一次函数式中，你会发现，虽然这个b的单位不同，有可能是距离也有可能是时间…，但是B的意思始终不变，函数式中的初始数值（这个初始数值可以等于正数负数或者0）。那么k是什么？在本实际情景中，k所代表的60表示汽车的每小时速度，抽象理解一点，k就是y随x变化的量，X每变化一次，y就按照K的值变化这个X的几倍或者几分之一。

      这就是一整个一次函数章节了，在一次函数章节中，我们初步的认识了函数，学会去表达了函数，并且发现了一次函数的性质，以及三个一次之间的关系，并最后利用实际情景解释了k，b的实际意义，当然，一次函数章节只是函数板块中的很小的一点，往后的学习中我们还会接触到各种函数，并学会更多函数延伸出的性质，一次函数的学习，只是打开了我们对函数世界的大门。