什么是函数？简单的来说就是几个量，几个集合之间的对应关系，可以说函数就是一种关系。就比如我们非常熟悉的路程模型，里面会涉及到路程，速度，还有时间三个量，这三个量之间的关系就可以用函数的形式表示，当然生活中还有很多的量之间可以通过函数表示。

在一个模型中，所有的量可以大体分为两种，一个是变量，一个是常量。  变量就是一个一直在变化的量，常量则是一个一直不变恒定的量。但是变量只有一种吗？比如说我们所说的路程和时间，这两个变量之间是否有逻辑上的先后顺序？也就是说是路程随着时间变，还是时间随着路程变？显然应该是路程随着时间变，时间逐渐增长路程也会随着越来越大，说明变量之间也是有先后逻辑顺序的。像时间这一类的量，自己变化的量就叫做自变量。像路程这一类的，随着另外一个变量而变化的量，就叫做因变量。

  在我们清楚了函数中各个量之间的关系后，下一步就是要将这种关系表示出来。那么我们该如何表示呢？首先我们可以用表格的方法。如图：

我们在列表格的时候，通常会把自变量放到上面，因变量放到下边，这样就可以非常清晰的体现出是因变量在随着自变量的变化而变化。通过表格的方法，我们可以很清晰的看到每一组数据，每一个时间相对应的路程，非常的清晰简洁，这是它的优势，但它的劣势就是无法体现出整整体的趋势，并且表格也是有限制的，并不能表示出所有的可能。

  除了表格的方法，我们还可以用代数式，那么我们如何用代数式来表示时间和路程的关系？我发现路程用X代表时间，用Y代表路。我们可以x代表时间，用y代表路程，代数式表示就是y：x=60，或者我们也可以表示为y=60x，相比之下还是第2个代数式会更加符合我们的认知观念，更加方便。在写代数式的时候，我们通常会把因变量放到等号左边，因为我们所关注的就是因变量。用代数式的方法表示可以将所有的可能，普遍规律都表示出来，给出任意一个时间，就可以直接通过此代数式得到其相应的路程，非常的方便。但是这样的方法却不能表示出每一组相对应的量，它只是一个整体的规律。

  同样我们还可以利用画图的方法，也就是直角坐标系。首先画出来一个坐标系，然后再分别通过两个轴上的数字确定唯一的一个点，最后把所有点连起来。这个直角坐标系共分为两条轴，一个是X轴，一个是Y轴，他们各自有正负两个方向，合在一起就是下图：

这也就是完整的直角坐标系，一共组成了4个象限，但是基于我们的实际情景，只需要用到其中的一个象限，因为路程和时间不可能为负数。接下来我们只需要将每一组数据唯一对应的一个点在轴上标出来就可以了，如图：

这就是图像法。这样的方式可以很清晰的直观，让人感受到整体的趋势，但是却很难快速的得到每一组数据相对应的量。

  而函数也是有不同类型的，相对应的它的函数图像也就不一样。就比如说我们之前所学过的正比例函数，其中的一个变量随着另一个的变量的变化而变化，最终他们的比值始终不变，就像是刚才我举例的路程模型一样。而他们的图像也都是一条直线，任何一个正比例函数也都可以用y=kx来表示，这每个字母的含义其实也不一样。 Y和X都是变量，而K是一个常数，我们也可以把这个代数式变一下，通过乘除互逆就可以得到y/x=k，他们的比值始终是这个常数项K，这就是我们一直在说的正比例函数，它的图像也呈一条直线过原点，如图：

除了正比例函数还有一项和它非常相似，但是也有不同之处的函数。我们先看下图，这是一组变量之间的关系图， X表示弹簧上所挂物体的质量，y是弹簧的长度。显然自变量就是所挂物体的质量，而因变量就是弹簧的长度，弹簧的长度会随着所挂物体的重量增大而增大。我们同样可以用代数式表示它们的关系，y=0.5x+3。

我们也可以用图像的方法表示。

我发现这个函数和正比例函数有相同之处，首先它们的函数图像都是一条直线。但是他们也有不同的地方，比如说函数图像并不过原点。代数式也有差异，这个函数图像的y=kx+n表示， Y和K分别代表变量，而K和N是一个常数项，我们来对比一下正比例函数，正比例的函数是Y=kx，会发现这个函数图像在正比例函数的图像基础上加了一个常数项。我们也可以给他命名，就叫一次函数，因为它的字母指数是1，所以是一次。感觉这两个函数好像完全不一样，但是他们其实也有着巨大的相似之处，可以说正比例函数就是特殊的一次函数，一次函数包括了正比例函数

  在我们逐步的认识了函数之后，就像我们所探索的一次函数，我们还进一步探究了它的性质。原来我们可能只知道一次函数是一个怎样的图像，以及一些表面的知识，但我们还需要进一步更加深入的探究它的性质，一次函数到底具有哪些性质？

  通过大量的数据以及我们亲自画图之后，可以感受到一次函数的图像始终是一条直线，他表示的是Y和X两个变量之间的关系，我们也可以用代数式表示就是Y=kx+B， Y和x是两个变量，k和B是两个常数，而正比例函数是特殊的一次函数，在正比例函数中B=0，也就是Y等于kx，它的比值始终相等，也可以理解为y/x=k，他们的比值始终是K这个常数。那么这个K和B这两个常数又对整个函数图像有着怎样的影响？

  一次函数图像当中哪几个点比较特殊呢？如图：

可以观察到的这个图像中函数图像与X轴和Y轴的交点非常特殊，因为这个焦点是唯一的，我们先来看a点，这个a点的位置由谁来确定呢？我们先看一下下列的式子，观察他们有什么特点？Y=3x- 2，Y=-3x- 2，Y=3x +2。如果你一一画出图像之后，就会发现 Y=kx+B中的B是一个正数的时候，这个图像与Y轴的交点就会在正半轴。如果这个。B是负数的话，他们就会交于负半轴，如果。B=0，那么它就会过原点，也就是正比例函数。所以我们可以总结一下，这个函数图像与Y轴的交点与B有关系，并且他们的焦点坐标就是（0，b）我们同样可以用数形结合的方式来理解，其实不管是多少？其实都不会对它的交点形成影响，而唯一能影响他的也就是b的大小，当它的B是一个正数的时候，纵轴所对应的自然也就是b点，一个正数，同样如果b是负数的话，对应的纵轴交点也是负数。

  这个函数图像与X轴的交点，自然Y轴就是0。那么此时 X轴对应的是多少？其实这个时候你就可以把整个式子转变为0=kx+B，这就是我们之前所学习的最简单的一元一次方程，只需要将这个式子解出来，就可以得到X的值，将X轴和Y轴的两个数对应起来就知道了交点的坐标。

    刚才我们所讨论的是B对于函数图像的影响，那么K是否能对函数图像造成影响？我们可以举几个例子y=3x+2，y=-3x+2，y=-3x-2，我们分别将它们对应的图表列出，并且画出函数图像后，就会发现当K是一个正数的时候， K>0， y会随着X的增大而增大，并且函数的图像是斜向上的。当K是一个负数的时候， K小于0，Y会随着X的增大而减小，函数的图像是斜向下的。如图

K他也有一个专属的名词就叫做斜率，k决定的是函数图像的斜率， K越大函数图像的斜率也越大。

  现在我们已经知道了K和B分别对函数图像的影响，也可以将它们结合起来，导致你一个一次函数的时候，立马就可以判断它的简图是怎样的，比如说Y=-3X-2，立马就可以判断出这个函数图像是斜向下的，并且交于Y轴的负半轴，如图：

函数图像分别过2，3，4象限。通过这样的方法，我们可以判断任意一个一次函数的图像走势，并且可以很准确的得到图像与X轴和Y轴交点的坐标。

  除了一次函数，同样还有另外两个一次，它就是一元一次方程和一元一次不等式。如果一次函数用Y=kx+B来表示，一元一次方程可以举例为0=-3X+2，而一元一次不等式又分为两个比，如kx+B>0和kx+B小于0。他们这三者之间有着怎样的联系与区别？一次函数其实就是表示一种关系，它可以通过三种表达方式表示。而一元一次方程其实就是让你求解X是多少，他是一个确定唯一的值。而一元一次不等式的X则有可能是很多种，所以我们要求的是它的一个大致范围。那么我们具体要如何来解一元一次不等式呢？其实这也需要用到数形结合，首先先画出这一次函数的简图，找到与X轴的交点位置，如果这个函数是斜向下的，那么X越往右，Y自然就越小，如果X越往左y就越大，如果是斜向上的则相反。通过这样的方式，我们就可以数形结合求出它的解大致的范围。

  最终我们还需要通过实际应用，在具体实际中体会K和B的含义。比如我们举个例子，一个弹簧的原有长度是三厘米，现在往弹簧上挂物体重量为X，他们的变化关系如下表：求X和Y之间的关系式

会发现X和Y之间其实是均匀变化的，X每加1，Y就加0.5，所以可以直接判断出他们绝对是一次函数关系。他们的关系式其实也就是Y=3+0.5x。现在K是0.5，Y是3，那他们的具体含义是什么？可以很明显的看出，K其实就是每一次Y所变化的量，因为我们之前也说过，X每加1，Y就加K。他其实就是每挂一克物体，弹簧所增加的长度。而b自然很好理解它其实就是弹簧最初始的长度，也就是三厘米。我们同样还可以结合更多的实际来理解K和B的含义。

  当然，在未来我们也会学习更多有关函数的内容，比如如何精确求解一次函数的表达式，或者二次函数以及反比例函数等等，函数看似和生活毫不相关，其实有着重大的联系，因为它可以表示所有变量之间的关系，可以帮助我们在一些看似完全摸不着头绪的事物中，找到他们之间的联系，分析出他们之间的逻辑关系。