高等数学(十一)向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用

第一节向量代数

（一）数量积

1、几何表示

$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=\left| \boldsymbol{a} \right|\left| \boldsymbol{b} \right|\cos \theta$

2、代数表示

$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$

3、运算规律

交换律

$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}$

分配律

$\boldsymbol{a}\cdot \left( \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} \right) =\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}$

4、几何应用

求模

$\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{a}}=\left| \boldsymbol{a} \right|$

求夹角

$\cos \alpha =\frac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a||b|}}$

判定两向量垂直

$\boldsymbol{a}\bot \boldsymbol{b}\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=0$

（二）向量积

1、几何表示

$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}$

$\left| \boldsymbol{c} \right|=\left| \boldsymbol{a} \right|\left| \boldsymbol{b} \right|\sin \theta$

2、代数表示

$\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{i}& \boldsymbol{j}& \boldsymbol{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ \end{matrix} \right|$

3、运算规律

不满足交换律

$\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b}\times \boldsymbol{a}$

分配律

$\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right) \times \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}\times \boldsymbol{c}$

4、几何应用

求同时垂直于 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的向量 $\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}$
求以 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 为邻边的平行四边形的面积

$S=\left| \boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b} \right|$

判定两向量平行

$\boldsymbol{a}∥ \boldsymbol{b}\leftrightarrow \boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}=0$

（三）混合积

$\left( \boldsymbol{abc} \right) =\left( \boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b} \right) \cdot \boldsymbol{c}$

1、代数表示

$\left( \boldsymbol{abc} \right) =\left| \begin{matrix} a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\\ \end{matrix} \right|$

2、运算规律

轮换对称性

$\left( \boldsymbol{abc} \right) =\left( \boldsymbol{bca} \right) =\left( \boldsymbol{cab} \right)$

交换变号

$\left( \boldsymbol{abc} \right) =-\left( \boldsymbol{acb} \right)$

3、几何应用

平行六面体的体积
$\boldsymbol{V}=\left( \boldsymbol{abc} \right)$
判定三向量共面：

$\left( \boldsymbol{abc} \right)=0$

第二节空间平面和直线

（一）平面方程

1、一般式

$Ax+By+Cz+D=0,\boldsymbol{n}=\left\{ A,B,C \right\}$

2、点法式

$A\left( x-x_0 \right) +B\left( y-y_0 \right) +C\left( z-z_0 \right) =0$

3、截距式

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

（二）直线方程

1、一般式

$\left\{ \begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\ \end{array},\boldsymbol{n}=\left( A_1,B_1,C_1 \right) \times \right. \left( A_2,B_2,C_2 \right)$

2、对称式

$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n},\boldsymbol{n}=\left( l,m,n \right)$

3、参数式

$x=x_0+lt,y=y_0+mt,z=z_0+nt,\boldsymbol{n}=\left( l,m,n \right)$

（三）平面和直线的位置关系

平行、垂直和夹角

（四）点到平面的距离

点 $\left( x_0,y_0,z_0 \right)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离
$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

（五）点到直线的距离

点 $\left( x_0,y_0,z_0 \right)$ 到直线 $\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}$ 的距离
$d=\frac{|\left( x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0 \right) \times \left( l,m,n \right) |}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$

第三节曲面与空间曲线

（一）曲面方程

一般式
$F\left( x,y,z \right) =0$
或者
$z=f\left( x,y \right)$

（二）空间曲线

1、参数式

$\left\{ \begin{array}{l} x=x\left( t \right)\\ y=y\left( t \right)\\ z=z\left( t \right)\\ \end{array} \right.$

2、一般式

$\left\{ \begin{array}{l} F\left( x,y,z \right) =0\\ G\left( x,y,z \right) =0\\ \end{array} \right.$

（三）常见曲面

1、旋转面

一条平面曲线绕平面上一条直线旋转称为旋转面

设L为yoz平面上一条曲线，其方程
$\left\{ \begin{array}{l} f\left( y,z \right) =0\\ x=0\\ \end{array} \right.$
则

L绕y轴旋转所得的旋转面方程
$f\left( y,\pm \sqrt{x^2+z^2} \right) =0$
L绕z轴旋转所得的旋转面方程
$f\left( \pm \sqrt{x^2+y^2},z \right) =0$

2、柱面

准线为
$\varGamma :\left\{ \begin{array}{l} f\left( x,y \right) =0\\ z=0\\ \end{array} \right.$

母线平行于z轴的柱面方程为
$f\left( x,y \right) =0$

准线为
$\varGamma :\left\{ \begin{array}{l} F\left( x,y,z \right) =0\\ G\left( x,y,z \right) =0\\ \end{array} \right.$

母线平行于z轴的柱面方程为
$H\left( x,y \right) =0$

3、二次曲面

椭圆锥面

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$

椭圆锥面.png

特别地，圆锥面
$x^2+y^2=z^2$

椭球面

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

椭球面.png

特别地，球面
$x^2+y^2+z^2=R^2$

椭圆抛物面

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$

椭圆抛物面.png

特别地，旋转抛物面
$x^2+y^2=z$

4、空间曲线投影

曲线
$\varGamma :\left\{ \begin{array}{l} F\left( x,y,z \right) =0\\ G\left( x,y,z \right) =0\\ \end{array} \right.$
在xoy的投影曲线方程为
$\left\{\begin{array}{l} H\left( x,y \right) =0\\ z=0\\ \end{array} \right.$

第四节多元微分在几何上的应用

（一）曲线的切平面与法线

曲面

$F\left( x,y,z \right) =0$

法向量
$\boldsymbol{n}=\left( F_x^{'},F_{y}^{'},F_{z}^{'} \right)$

曲面

$z=f\left( x,y \right)$

法向量
$\boldsymbol{n}=\left( f_{x}^{'},f_{y}^{'},-1 \right)$

（二）平面的切线与法平面

平面

$\left\{ \begin{array}{l} x=x\left( t \right)\\ y=y\left( t \right)\\ z=z\left( t \right)\\ \end{array} \right.$

切向量
$\boldsymbol{\tau }=\left( x^{'}\left( t_0 \right) ,y^{'}\left( t_0 \right) ,z^{'}\left( t_0 \right) \right)$

平面

$\left\{ \begin{array}{l} F\left( x,y,z \right) =0\\ G\left( x,y,z \right) =0\\ \end{array} \right.$

切向量
$\boldsymbol{\tau }=\boldsymbol{n}_1\times \boldsymbol{n}_2$
其中
$\boldsymbol{n}_1=\left( F_{x}^{'},F_{y}^{'},F_{z}^{'} \right)$
$\boldsymbol{n}_2=\left( G_{x}^{'},G_{y}^{'},G_{z}^{'} \right)$

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高等数学(十一)向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用

第一节 向量代数

（一）数量积

1、几何表示

2、代数表示

3、运算规律

4、几何应用

（二）向量积

1、几何表示

2、代数表示

3、运算规律

4、几何应用

（三）混合积

1、代数表示

2、运算规律

3、几何应用

第二节 空间平面和直线

（一）平面方程

1、一般式

2、点法式

3、截距式

（二）直线方程

1、一般式

2、对称式

3、参数式

（三）平面和直线的位置关系

（四）点到平面的距离

（五）点到直线的距离

第三节 曲面与空间曲线

（一）曲面方程

（二）空间曲线

1、参数式

2、一般式

（三）常见曲面

1、旋转面

2、柱面

3、二次曲面

4、空间曲线投影

第四节 多元微分在几何上的应用

（一）曲线的切平面与法线

（二）平面的切线与法平面

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第一节向量代数

第二节空间平面和直线

第三节曲面与空间曲线

第四节多元微分在几何上的应用