MBA老吕数学-6-数据分析

@(MBA备考)

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第六章数据分析

1 排列组合

加法原理与乘法原理

加法原理： 完成一个问题有n类方法，若第一类方法有m1种不同的方法，.....，第n类方法有 $m_n$ 种方法，那么完成该问题共有 $N=m_1+m_2+...+m_n$ 种方法。
乘法原理：完成一个问题有n个步骤，若第一个步骤有m1种方法，...，第n个步骤有 $m_n$ 种方法，那么完成该问题共有 $N=m_1\cdot m_2\cdot ...\cdot m_n$ 种方法。

排列数

$A_n^n=n!$
$A_n^m = n \cdot (n-1) \cdot \cdot \cdot (n-m+1)$
$A_9^3 = 9 × 8 × 7$
$A_n^0 = 1$

组合数

$C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m}$
$C_n^m = C_n^(n-m)$
$C_n^0=C_n^n=1$
$C_n^1=C_n^n=n$
$C_n^m$ ，当m越接近 $\frac{n}{2}$ 数值越大

排列组合解题思路

1）特殊元素优先法
2）特殊位置优先法
3）相邻问题捆绑法
4）不相邻问题插空法
5）定序问题消序法
6）正难则反,剔除法
7）最后的办法：穷举法

2 概率

古典概型

样本空间S中基本事件的总数是n,而事件A包含的基本事件数为m，那么A事件的概率是：
$① ：P(A)=\frac{A}{Ω}$
Ω为总事件数量，A为满足要求的事件数量。都是用排列组合来计算。
对于古典概型同样存在事件A的补发生概率为事件A概率的补
古典概型就是按<font color=red> 发生次数 </font>来计算
$②: P(\bar{A})=1-P(A)$

伯努利概型

事件A发生的概率为p，则n次试验中事件A恰好发生 $k（0\leq k\leq 1）$ 次的概率为：
单次试验A发生概率为p，试验n次出现A事件k次
$P_{n}(K)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \ \ \ \ \ \ \ \ (k=1,2,...n)$
伯努利概型就是按<font color=red> 发生概率 </font>来计算

直到第K次试验时，事件A才首次发生的概率

独立做一系列伯努利试验，直到第K次试验时，事件A才首次发生的概率为：
$P_k=(1-p)^{k-1} \cdot p \ \ \ \ \ \ \ \ (k=1,2,...n)$

例如4次伯努利试验，事件A发生一次 $P=C_4^1 \cdot p^1 \cdot (1-p)^{4-3}$ 。计算的是4次试验A有发生一次，不一定在第几次上。
而P_4=(1-p)^{4-1} \cdot p 表达的是前3次都没发生，第4次时事件A发生的概率

注意点

分排与分组不同。排有次序，组无次序
二次分组（或分组分配）问题，就把前后两种要求的排列组合乘起来。如：先分组再分配。
正难则反。如"3人至少有1人患流感的概率" $\Leftrightarrow$ "1 - 没有人患流感的概率"
掷硬币通常都是伯努利概型
相互独立事件的模型包括了伯努利。相互独立事件，例：投篮命中率1/4，连投3次中的概率 $=(\frac{1}{4})(\frac{1}{4})(\frac{1}{4})=\frac{1}{64}$
古典概型的想法来理解上面的投篮问题：投第一次，有四种情况（其中三次不中），每种情况下都可以投第二次，第二次又有四种情况，继续第三次，即总共投 $4^3=64$ 次能遍历所有投球情况。其中三次都中的就1次，所以是 $\frac{1}{64}$ 。
落点问题、涂红油漆基本都是古典概型的穷举法解决。

常见数值

$C_3^2 = 3 = C_3^1$
$C_4^2 = 6$
$C_5^2 = 10$
$C_6^2 = 12$
$C_7^2 = 21$

方法总结

数据分析总览

【在古典概型题中，通常用来计算事件出现的频次】

数据分析概览.png

1.排队

1.1 不同元素的排队问题

1.1.1、排队问题（13.1）

特点：队列上不会有空位。
注意：当元素A会影响到元素B的排列时，要进行分类讨论。
主要方法：特元优先、特位优先、捆绑、插空、剔除、定序问题消序法

1.1.2、看电影问题（13.2）

特点：相比队列问题，可以出现空位置。
是排队问题的一种，是“动位置”（椅子=位置）来计算的一种特别情况。
主要方法：绑元素+绑椅子；搬椅子去插空

1.2、相同元素的排列问题（13.6）

主要方法：可以先看成不同元素进行排列，再消序（m元素，就除以 $A_m^m$ ）
例如：3红旗，2蓝旗，2黄旗排一排，总共的排法= $\frac{A_7^7}{A_3^3 \cdot A_2^2 \cdot A_2^2}$

2.分配问题（n元素，分配m组）

2.1不同元素的分配

2.1.1.每组至少一人（13.4）

n个元素，分配到m组，每组至少要有一个元素
主要方法：先分组再分配

典型错误：
4封信投入3个不同的邮筒，每个邮筒至少1封信。
1）4封取3封，放入3邮筒： $A_4^3$
2）剩下1封，选一个邮筒放入： $A_3^1$
总投法= $A_4^3 \cdot A_3^1$
以上思路会产生重复。将1，2，3先放入3个邮筒，让后放4号信，可以出现下面的情形：
邮筒A：1 、4；邮筒B：2 ; 邮筒C：3.
这与将4，2，3先放入3个邮筒，让后放1号信，后：

邮筒A：4 、1；邮筒B：2 ; 邮筒C：3
相同，出现重复。而且去重比较麻烦。所以还是要用先捆绑后分配法。

疑点：一组上可以有3人，4人，....多人捆绑的情形，也是这样分类计算下去么？好像计算量好大的样子。

2.1.2.允许出现空组

4封信投入3个不同的邮筒，有多少投法？
就是每封信都有3个选择。总的投法= $A_4^3$

2.1.3.万能元素分配问题（13.7）

是不同元素分配问题下的一种子问题。
主要方法：就是对万能元素的选与不选进行分类讨论。

2.1.3.不能对号入座问题（13.9）

也是不同元素分配问题下的一种子问题
有编号的n个小球（1，2，3....n），分配到有编号的n个盒子（与小球编号一样），要求一个盒子一个球。同时盒子编号与球的编号不能一样。
方法：就是背结论。

n=2时，1种
n=3时，2种
n=4时，9种
n=5时，44种

2.2相同元素的分配问题

n个相同元素，分入m个组

每组至少1个元素

挡板法，n个元素有n-1个空，则总分配法= $C_{n-1}^{m-1}$

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第六章 数据分析

1 排列组合

加法原理与乘法原理

排列数

组合数

排列组合解题思路

2 概率

古典概型

伯努利概型

直到第K次试验时，事件A才首次发生的概率

注意点

常见数值

方法总结

数据分析总览

1.排队

1.1 不同元素的排队问题

1.1.1、排队问题（13.1）

1.1.2、看电影问题（13.2）

1.2、相同元素的排列问题（13.6）

2.分配问题（n元素，分配m组）

2.1不同元素的分配

2.1.1.每组至少一人（13.4）

2.1.2.允许出现空组

2.1.3.万能元素分配问题（13.7）

2.1.3.不能对号入座问题（13.9）

2.2相同元素的分配问题

每组至少1个元素

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