贝多芬
创作出世界上最著名乐章的作曲家
大部分的创作却实在失聪的状态下度过
那么
他是如何创作出
如此错综复杂美妙、美妙动人的音乐呢？
答案
就在这些美妙音符背后隐藏的
数学规律中……
以著名的第十四號鋼琴奏鳴曲《月光》為例，开头的一段节奏缓慢而音阶稳定，以三个音符为一组。每组三连音中都包含一个优雅唯美的旋律结构，揭示出音乐和数学两者间极为有趣的关联……
以50小节前半节为例
前半段由D大调三个音符组成（D,升F，A）
叠加一起
即一个和谐的旋律——三和弦
它们代表了不同音符的频率之间的数学关系
这些频率构成一个等比数列
如果我们从频率为20hz的音符A3开始
可以用函数f=ar^n来表示这个数列
其中n代表键盘上的连续几个键
《月光奏鸣曲》中的D大调三连音
n值分别为5/9/12
n值带入函数
即可画出每个音符的正弦曲线
把3条函数画出来
在相同距离里
D完成了两个循环、升F两个半、A为三个循环
这个旋律被称为和弦音程
自然动听、悦耳动人
贝多芬对不和谐音的运用
同样充满魔力，令人神往
在第52节-54节中
主三连音包含了B音和C音
它们的正弦曲面波动起伏
比和弦更为激烈
极难匹配，几乎全无
将不和谐音程
和上面D大调三和弦进行对比
贝多芬在数学的确定性当中
增加了不可量化的元素
即情感和创造力
贝多芬真正的音乐天赋，不仅在于未闻音乐就能辨识旋律，更在于他对音乐效果的感知力。正如詹姆斯·西尔维斯特所说：
也许，音乐不能被描绘为有情感的数学。但也许，数学可以是有理智的音乐？音乐家可以感知数学，数学家能够思考音乐。
这两门看似相距千里的学科，却有许多神奇的交汇点……
音高的数学本质——毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯第一个发现了音乐和数学的联系。
有一天，毕达哥拉斯经过一家铁匠铺，被里面传出的高高低低、富有节奏的打铁声所吸引。他发现音响的和谐与发声体体积的比例有关，于是在琴弦上做了很多次试验，寻找琴弦发声协调动听的规律，最终发现了音乐数。
乐音的高低（即“音高”）依赖发声体（如琴弦）的长度。弹琴时，手指在琴弦上移动，不断改变琴弦的长度，琴就会发出高低起伏、抑扬顿挫的声音。如果是三根弦同时发音，只有当它们的长度比是3∶4∶6时，声音才最和谐、最优美，于是人们便把3、4、6叫做“音乐数”。
同时他还进一步发现，只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程：如1∶2产生八度，2∶3产生五度，3∶4产生四度等。继而发现弦的每一和谐组合都可表示成整数比，按整数比增加弦的长度，能产生整个音阶。
由此他认为：“音乐之所以神圣而崇高，就是因为它反映出作为宇宙本质的数的关系。”
曲式结构的数学规律——斐波拉契数列
数学与音乐的交响诗从此唱响，千百年来让无数人流连陶醉。比如：乐器之王——钢琴的键盘上，从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程，其中共包括13个键，有8个白键和5个黑键，而5个黑键分成两组，一组有2个黑键，另一组有3个黑键。
恰好体现了数学史上著名的斐波拉契数列中任意三个数的前两个数之和等于第三个数特殊性质。
斐波那契数列另一个性质是任意相邻的两个数之间的前后比值约等于黄金分割比例（0.618）。
如果仔细研究音乐作品的结构，不难发现，黄金分割比例在音乐曲式中几乎随处可见。古典音乐中不同规模的作品中，高潮音符所在的小节，几乎恰好位于全曲的黄金分割点。
比如在《梦幻曲》中，全曲共分6句，24小节。高潮将在第14小节出现，符合按照黄金分割率的计算：24×0.618≈14.83。
比如肖邦的《降D大调小夜曲》共计76小节，理论上黄金分割点处于46小节，这恰恰是全曲高潮出现之处！
贝多芬《悲怆奏鸣曲》Op.13第二乐章全曲共73小节。理论计算黄金分割点应在45小节，在43小节处形成全曲激越的高潮，并伴随着调式、调性的转换，高潮与黄金分割区基本吻合。
更典型的例子是莫扎特的《D大调奏鸣曲》，它的第一乐章全长160小节，若用小节数乘以黄金分割比值，160×0.618=98.88，曲子的再现部位恰恰位于第99小节，正好在黄金分割点上！对莫扎特的作进行进一步分析还发现，94%的莫扎特钢琴协奏曲都符合这一规律。
下次听歌的时候，你不妨也找找音乐中的黄金分割！
巴赫音乐——对称性、函数美
“巴赫如果不是一位音乐家，那么他也会是一位数学家”，古典爱好者对此肯定耳熟能详。而BWV1079的螃蟹卡农更是一首听起来很诡异，但看完谱子更加惊叹的“数学之作”。
巴赫的《音乐的奉献》包括了十首卡农（指对位手法），主题的副本对主题实行了错位、倒影、拉升以及反转等各种技巧。乐谱具有滑移反射对称性。
更为惊叹的是，被很多人总结出了“函数”之美，还居然推导函数公式来。
早在十九世纪，法国数学家傅里叶就发现，所有的乐声，不管是器乐还是声乐，都可以用数学函数式来表达。音调与数学曲线的频率有关，音量与振幅有关，音色与周期形状有关。
二十世纪二十年代，美国数学和音乐教授约瑟夫·希林格把纽约时报上一商务曲线描述在纸上，将这条曲线的各个基本段按照适当的比例间隔转变为乐曲，随后在乐器上进行了演奏，结果发现这竟然是一首曲调优美且与巴赫的音乐作品极为相似的乐曲。他由此认为：
所有的音乐杰作都可以转变为数学公式。
他的学生乔治·格什温进行了尝试，大胆地创建了一套用数学作曲的系统，据说著名歌剧 《波吉与贝丝》 就是他使用这套系统创作的……
归根到底
数学和音乐不愧为天作之合
数学的抽象美
音乐的艺术美
经受了岁月的考验
相互渗透
或许作曲家在创作“好听”的音乐时
有一只“看不见的数学之手”
在冥冥之中发挥作用
