线性代数---矩阵(余)

线性方程组与矩阵的对应关系说明:上述的有序数表完全确定了原线性方程组,对它的研究可以判断方程组的解的情况.

2.1 矩阵定义

矩阵相等

同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等。矩阵相等:设矩阵A与B是同型矩阵,A=(a[i][j]), B=(b[i][j])若a[i][j]=b[i][j],(i,j=1,2,…,n)则称矩阵A与B相等,记作A=B。

几种特殊类型矩阵

1、行矩阵(Row Matrix):只有一行的矩阵。(或称行向量)
2、列矩阵(Column Matrix):只有一列的矩阵。(列向量)
3、零矩阵(Zero Matrix):元素全为零的矩阵称为零矩阵。
4、方阵(Square Matrix):行数与列数都等于n的矩阵,称为n阶方阵。
5、单位矩阵(ldentity Matrix):主对角元素全为1,其余元素都为零的方阵。
6、数量矩阵(Scalar Matrix):主对角元素全为非零常数k,其余元素全为零的方阵。
7、对角阵(Diagonal Matrix):主对角线以外的元素都为零的方阵。
8、对称矩阵 (Symmetric Matrix):主对角线为对称轴,各元素对应相等的矩阵。
9、反对称矩阵(Skew-symmetric Matrix):主对角线上的元素全为零,而位于主对角线两侧对称的元素反号的矩阵。

2.2 矩阵的加减法

性质(设A,B,C都是同型矩阵)

(1)交换律A+B=B+A
(2)结合律(A+B)+C=A+(B+C)

数乘矩阵

1.定义:数γ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ,规定为:

注:λA=0⇒λ=0或A=O

2.性质
设A,B为m×n矩阵,λ,μ为数
(1)(λμ)A=λ(μA);
(2)(λ+μ)A= A=λA+ λ=μA;
(3)λ(A+ B)=λA+λB.

【注意】一般AB≠BA;AB=0,不可推出A=0或B=0。
定义:如果AB=BA,就称4,B可交换。(此时A,B必为同阶方阵)
单位阵满足 Em*Am×n=A,Am×nEn=Am×n;单位阵和任何一个矩阵只要能乘,则等于那个矩阵本身。

2.性质:

(1)结合律: (AB)C=A(BC);
(2)左右分配律:
A(B+C)=AB+AC, 左乘 左提
(B+C)A=BA+CA , 右乘 右提

(3)λ(AB)=(λA)B=A(λB)=(AB)λ
(4)AE=EA=A

好求的方幂的矩阵
(1)一行×一列
(2)严格上的上三角阵
(3)对角阵


4、矩阵的转置


注意:若A为方阵,AT=A,则称A为对称矩阵。
A^T =-A,称A为反对称矩阵。
A=½(A+AT)+ ½(A-AT)

5、方阵的行列式

1、定义
由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记号| A |或det A 。
2、性质
设A,B为n阶方阵,则有①|AT|=| A |;②| λA |=λn| A |③| AB |=| A || B |=| B | | A |=| BA |
注1:注意|λA|≠| λ || A |,| λA |≠λ|A|
注2:如果A,B不是方阵,则l|AB|≠|A||B|;
注3:|A+B|≠|A|+|B|
注意:An Bn=0≠>An=0或Bn=0;

6、方阵的伴随矩阵

1、定义A=(aij)n,Aij为A中a..的代数余子式,将第i行放到第i列,第i列放到第i行,所组成的矩阵叫做伴随矩阵。
二阶矩阵求伴随矩阵口诀:对主调,副变号。
二阶矩阵(A*)*=A
伴随矩阵性质:AA*=A*A=|A|E


7、逆矩阵

一、定义:设A是n阶方阵,若存在n阶方阵B使 AB=BA=E,
则称A是可逆的,并称B是A的逆矩阵。记A的逆矩阵为 A-1
性质:若方阵A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的。
证明:设B,C都是A的逆矩阵,则有AC=CA=E,BA=AB=E,故B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.
二、可逆的充要条件
定理:n阶方阵A可逆的充要条件是|A|≠0,且A可逆时,A-1={1 \over |A|} A*
二阶方阵的逆矩阵,行列式的倒数 乘上 主对角线对调,副对角线负号。
设A是n阶方阵,当|A|≠0时,称A为非奇异的(或非退化的),(可逆)
当|A|=0时,称A为奇异矩阵(或退化的)(不可逆)
推论:设A、B为同阶方阵,若AB=E,则A和B都可逆,且A-1 =B,B-1 =A.
证明:若AB=E → |AB|=|A||B|=1 →|A|≠0 → A-1存在,同理 B-1 存在,由AB=E,→A-1(AB)=A-1E → B=A-1 → BA=E。

方阵A的逆矩阵的求法:

1、利用公式A-1={1 \over |A|} A*,(适用于二阶、三阶矩阵求逆)
2、寻找方阵B,使得AB=E.(适用于抽象矩求逆)
3、利用矩阵的初等变换求逆矩阵(后面讲)
【例】设方阵A满足方程A-A-2E=0,证明:A,A+2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证:(1)由A²-A-2E=0,得A(A-E)=2E →A({A-E \over 2})=E,所以A可逆,且A-1={1 \over 2}(A-E)。
(2)由A2-A-2E=0可得(A+2E)(A-3E)+4E=0,(A+2E)[-{1 \over 4}(A-3E)]=E ,所以A+2E可逆,(A+2E)-1=-{1 \over 4}(A-3E)。
【练习】设A为n阶矩阵,且满足A+3A-2E=0.求:
(1)A-1; (2) (A-E)-1

方法

【注】若题设n阶方阵A满足f(A)=0,要证aA+bE可逆,则先分解出因子aA+bE,若有
(aA+bE)B=kE (k≠0)
则知矩阵 aA+bE 可逆,且
(aA+bE)^{-1} =({1 \over k})B

性质:设A,B为n阶可逆矩阵

(1)若A可逆,则A1也可逆,且(A-1)-1 = A.
(2)若A可逆,数λ≠0,则λA也可逆,且(λA)-1= {1\over λ} A-1 .
(3)若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且
(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}
(4)若A可逆,则AT也可逆,且(AT)-1=(A-1)T.
(5)若A可逆,则|A-1|=|A|-1
设4,B为n阶可逆矩阵, A+B=AB,证明:(A-E)1=B-E,且A,B可交换。
证明:A+B=AB =>AB -A-B=0
=>A(B -E)-(B-E)=E
=>(A- E)(B-E)=E
=>(A-E)-1=B-E;
=>(B -E)(A-E)=E =>BA -A-B=0
A +B=BA =>AB = BA =>A,B可交换。


转置和逆区别

2.4 克莱姆法则


注意
(1)如果线性方程组系数行列式D=0,则有解,且解唯一;若系数行列式为零,则解不唯一或无解。
(2)Cramer 法则仅用于未知数个数与方程个数相同的情况。
(3)若齐次线性方程组的系数行列式D≠0,而常数项为0,则方程组只有零解。
注意:齐次方程组一定有解,若齐次线性方程组有非零解,则D=0。

2.5 分块矩阵

一、分块矩阵定义

A=\begin{Bmatrix} a~11~ &a~12~&a~13~&a~14~\\ a~21~&a~22~&a~23~&a~24~\\ a~31~&a~32~&a~33~&a~34~\\ a~41~&a~42~&a~43~&a~44~\\ \end{Bmatrix}
定义:将矩阵A用若干条纵线和若干条横线分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

二、分块矩阵的运算

后面再补充。

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