5.4Python数据处理篇之Sympy系列(四)---微积分

前言

今天讲的是，有关sympy的微积分部分的知识。

对应官网的知识：Calculus

官网教程

https://docs.sympy.org/latest/tutorial/calculus.html

（一）求导数-diff()

1.一阶求导-diff()

（1）说明：

语法是：diff(expr,x)

（2）源代码：

from sympy import *


# 初始化
x = symbols('x')

# 表达式
expr1 = cos(x)

expr2 = exp(x**2)


# 求导
r1 = diff(expr1, x)
r2 = diff(expr2, x)


print("r1:", r1)
print("r2:", r2)

（3）输出：

$\cos(x)$ --> $-\sin(x)$

$e^{x^2}$ --> $2xe^{x^2}$

01.png

2.多阶求导-diff()

（1）说明：

多阶求导同样的使用diff()，其有两种形式

带参数中，添加几个x,就是对x的几次求导。diff(expr, x, x,x……)

用数字来控制所求的阶数：diff(expr, x, n)

（2）源代码：

from sympy import *


# 初始化
x = symbols('x')

# 表达式
expr1 = x**4


# 第一种形式多阶求导
r1 = diff(expr1, x)
r2 = diff(expr1, x, x)
r3 = diff(expr1, x, x, x)

print("="*30)
print(r1)
print(r2)
print(r3)

# 第二种形式多阶求导
r4 = diff(expr1, x, 1)
r5 = diff(expr1, x, 2)
r6 = diff(expr1, x, 3)

print("="*30)
print(r4)
print(r5)
print(r6)

（3）输出：

$x^4$ --> $24x$

02.png

3.求偏导数-diff()

（1）说明：

diff()也可以单独对一个变量求导，这便是偏导数。

（2）源代码：

from sympy import *


# 初始化
x, y, z = symbols('x y z')

# 表达式
expr1 = exp(x*y*z)

# 求导
r1 = diff(expr1, x, y, y, z, z, z, z)
r2 = diff(expr1, x, 1, y, 2, z, 4)

print("r1:", r1)
print("r2:", r2)

print(latex(r1))
print(latex(r2))

（3）输出：

$e^{xyz}$ --> $x^{3} y^{2} \left(x^{3} y^{3} z^{3} + 14 x^{2} y^{2} z^{2} + 52 x y z + 48\right) e^{x y z}$

03.png

（二）求积分-integrate()

（1）说明：

求积分有三种形式，并且都用的是integrate（）方法

求不定积分：integrate(expr, var)

求定积分：integrate(expr, (var, min, max))

求多重积分：integrate(expr, (var1, min, max),(var2,min,max))

（2）源代码：

from sympy import *


# 初始化
x, y = symbols('x y')

# 表达式
expr1 = cos(x)
expr2 = exp(-x)
expr3 = exp(-x**2-y**2)

# 求不定积分
r1 = integrate(expr1, x)

# 求定积分
r2 = integrate(expr2, (x, 0, oo))

# 求多重积分
r3 = integrate(expr3, (x, -oo, oo), (y, -oo, oo))

print("r1:", r1)
print("r2:", r2)
print("r3:", r3)

（3）输出：

$\cos{\left (x \right )}$ --> $\sin{\left (x \right )}$

$\int_{0}^\infty{e^{- x}dx}$ --> $1$

$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{- x^{2} - y^{2}}dxdy$ --> $\pi$

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（三）求极限-limit(）

（1）说明：

求极限使用limit()，其有下两种使用方法：

趋进某个点的极限：limit(expr, var, doit）

从侧边趋进某个值的极限：limit(expr, var,doit, "+") （左侧趋进同理）

注：sympy里，不可以使用无穷的趋进。

（2）源代码：

from sympy import *


# 初始化
x = symbols('x')

# 表达式
expr1 = sin(x)/x
expr2 = 1/x

# 求趋于某个值的极限
r1 = limit(expr1, x, 0)

# 正向趋进
r2 = limit(expr2, x, 0, '+')

# 负向趋进
r3 = limit(expr2, x, 0, '-')

print(r1)
print(r2)
print(r3)

（3）输出：

$\lim_{x \to 0}\sin(x)/x$ --> $1$

$\lim_{x \to 0^+}$ --> $\infty$

$\lim_{x \to 0^-}$ --> $-\infty$

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（四）级数展开-series(）

1.说明：

级数展开请使用：series(expr, x0, xn）,使用.removeO()去除尾数。

2.源代码：

from sympy import *


# 初始化
x = symbols('x')

# 表达式
expr1 = exp(sin(x))

# 级数展开
r1 = expr1.series(x, 0, 6)

# 去除尾数
r2 = expr1.series(x, 0, 6).removeO()

print(r1)
print(r2)

3.输出：

$e^{\sin(x)}$ --> $1 + x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{8} - \frac{x^{5}}{15} + O\left(x^{6}\right)$

$e^{\sin(x)}$ --> $- \frac{x^{5}}{15} - \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{2}}{2} + x + 1$

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