1.5.2如果
是否一定是
的正规子群？
1.5.4(1)设
是的子群且
则%2FN%3DN_%7B%5Coverline%7BG%7D%7D(%5Coverline%7BM%7D))
这里
(2)设
是群同态，
试证)%3DKM)
这里
1.5.6设
是群的任意一个元，若
的阶和
互素，则
1.5.8用)
表示的全部内自同构组成的集合，试证：%5Cleq%20Aut(G))
且%5Ccong%20G%2F%5Cmathbb%7BZ%7D(G))
1.5.9试证非可换群的自同构群)
不是循环群
特别地，若群只有素数个自同构，则是可换群
1.5.10用![[G,G]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5BG%2CG%5D)
表示群的换位子群，即由所有换位子![[g,h]=ghg^{-1}h^{-1},g,h\in G](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Bg%2Ch%5D%3Dghg%5E%7B-1%7Dh%5E%7B-1%7D%2Cg%2Ch%5Cin%20G)
生成的的子群；记![G^{(1)}=[G,G],G^{(n)}=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}],\forall n>1](https://math.jianshu.com/math?formula=G%5E%7B(1)%7D%3D%5BG%2CG%5D%2CG%5E%7B(n)%7D%3D%5BG%5E%7B(n-1)%7D%2CG%5E%7B(n-1)%7D%5D%2C%5Cforall%20n%3E1)
则%7D)
均是的正规子群
1.5.11设![N\triangleleft G,N\cap[G,G]=\{1\}](https://math.jianshu.com/math?formula=N%5Ctriangleleft%20G%2CN%5Ccap%5BG%2CG%5D%3D%5C%7B1%5C%7D)
则)
1.5.12群的非平凡子群
称为的极小子群，如果不存在子群
使得
试证
(2)有理数加法群
既没有极小子群也没有极大子群
1.5.13设
是有限群的自同构，令%3Dg%5E%7B-1%7D%5C%7D)
，试证：
(1)若
则是
群
(2)若
则一定有指数为2的正规子群
参考文献
冯克勤, 章璞. 近世代数三百题[M]. 高等教育出版社, 2010.
