高等代数理论基础6：因式分解定理

因式分解定理

不可约多项式

定义：若对p(x)\in P[x],\partial(p(x))\ge 1,p(x)不能表成数域P上两个次数比p(x)次数低的多项式的乘积则称p(x)为域P上的不可约多项式

注：

1.一次多项式总是不可约多项式

2.一个多项式是否可约依赖于系数域

性质：

1.不可约多项式p(x)的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍cp(x)(c\neq 0)两种

具有性质1的次数\ge 1的多项式一定不可约

2.不可约多项式p(x)与任一多项式f(x)之间或p(x)|f(x),或(p(x),f(x))=1

(p(x),f(x))=d(x),则d(x)=1或cp(x)

定理：给定不可约多项式p(x),\forall f(x),g(x),p(x)|f(x)g(x)\Rightarrow p(x)|f(x)或p(x)|g(x)

证明：

若p(x)|f(x),结论成立

若p(x)\nmid f(x),

则(p(x),f(x))=1

\therefore p(x)|g(x)\qquad \mathcal{Q.E.D}

定理推广(利用数学归纳法)：给定不可约多项式p(x),p(x)|f_1(x)f_2(x)\cdots f_s(x),则p(x)整除f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x)中的一个

因式分解及唯一性定理

定理：数域P上每一个次数\ge 1的多项式f(x)都可以分解成数域P上一些不可约多项式的乘积,且分解式唯一

证明：

存在性

对f(x)的次数作归纳法,设\partial(f(x))=n

一次多项式不可约,n=1时结论成立

假设结论对次数低于n的多项式已成立

若f(x)不可约,结论显然成立

若f(x)可约,即有f(x)=f_1(x)f_2(x)

其中\partial(f_1(x))\lt n,\partial(f_2(x))\lt n

由归纳假设,

f_1(x),f_2(x)都可分解成数域P上一些不可约多项式的乘积

将f_1(x),f_2(x)的分解式合起来可得f(x)的分解式

唯一性

设f(x)可分解成两种分解式

f(x)=p_1(x)p_2(x)\cdots p_s(x)

f(x)=q_1(x)q_2(x)\cdots q_t(x)

其中p_i(x)(i=i,2,\cdots,s),q_l(x)(l=1,2,\cdots,t)都是不可约多项式

\therefore p_1(x)p_2(x)\cdots p_s(x)=q_1(x)q_2(x)\cdots q_t(x)\qquad (1)

对s作归纳法

当s=1时,f(x)不可约

由定义有s=t=1

且f(x)=p_1(x)=q_1(x)

假设不可约因式个数为s-1时,结论成立

由(1)式知p_1(x)|q_1(x)q_2(x)\cdots q_t(x)

\therefore p_1(x)整除q_1(x),q_2(x),\cdots,q_t(x)之一

不妨设p_1(x)|q_1(x)

\because q_1(x)也不可约

\therefore p_1(x)=c_1q_1(x)

(1)式两边消去q_1(x)可得

c_1p_2(x)\cdots p_s(x)=q_2(x)\cdots q_t(x)

由归纳假设有s-1=t-1即s=t

且适当排列次序后有

p_2(x)=c'_2c_1^{-1}q_2(x),即p_2(x)=c_2q_2(x)

p_i(x)=c_iq_i(x)(i=3,\cdots,s)

综上所述,分解式唯一

\therefore分解式存在且唯一\qquad \mathcal{Q.E.D}

标准分解式

f(x)=cp_1^{r_1}(x)p_2^{r_2}(x)\cdots p_s^{r_s}(x)

其中c是f(x)首项系数,r_i\in Z_+(i=1,2,\cdots,s)

p_1(x),p_2(x),\cdots,p_s(x)是不同的首项系数为1的不可约多项式

根据标准分解式可直接写出最大公因式：

多项式f(x)与g(x)的最大公因式d(x)即同时在f(x)与g(x)的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带方幂的指数取它在f(x)与g(x)中较小的一个

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