高等代数理论基础3：一元多项式

一元多项式

定义：形式表达式 $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ 称为系数在数域P上的一元多项式

其中 $a_0,a_1,\cdots,a_n\in P,n\in N,x是一个符号(文字)$

项与系数

多项式 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ 中

定义： $a_ix^i$ 称为i次项， $a_i$ 称为i次项系数

若 $a_n\neq 0$ ,则称 $a_nx^n$ 为多项式的首项, $a_n$ 为首项系数,n为多项式的次数,记作 $\partial(f(x))=n$

零多项式

定义： $若a_0=a_1=\cdots=a_n=0,即f(x)=0$ ,则称f(x)为零多项式,记作0.

注：零多项式是唯一不定义次数的多项式

区别： $\begin{cases}零多项式f(x)=0 \\\\ 零次多项式f(x)=a,a\neq 0,\partial(f(x))=0\end{cases}$

多项式相等

定义：若多项式f(x)与g(x)同次项系数全相等,则称f(x)与g(x)相等,记作f(x)=g(x)

即, $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$

$g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0$

$f(x)=g(x)\Leftrightarrow m=n,a_i=b_i,i=0,\cdots,n$

多项式运算

设数域P上两个多项式

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=\sum\limits_{i=0}^{n}a_ix^i$

$g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0=\sum\limits_{j=0}^{m}b_jx^j$

若 $n\ge m$ ,令 $b_n=b_{n-1}=\cdots=b_{m+1}=0$ ,则

$f(x)+g(x)=(a_n+b_n)x^n+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\cdots+(a_1+b_1)x+(a_0+b_0)$

$=\sum\limits_{i=0}^{n}(a_i+b_i)x^i$

$f(x)-g(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}(a_i-b_i)x^i$

$f(x)g(x)=a_nb_mx^{n+m}+(a_nb_{m-1}+a_{n-1}b_m)x^{n+m-1}+\cdots+(a_1b_0+a_0b_1)x+a_0b_0$

$=\sum\limits_{s=0}^{m+n}\sum\limits_{i+j=s}(a_ib_j)x^s$

其中s次项的系数为 $a_sb_0+a_{s-1}b_1+\cdots+a_1b_{s-1}+a_0b_s=\sum\limits_{i+j=s}a_ib_i$

性质

$\forall f(x),g(x)\in P[x]$

1. $f(x)\pm g(x),f(x)g(x)$ 仍为数域P上的多项式

2. $\partial(f(x)\pm g(x))\le max(\partial(f(x)),\partial(g(x)))$

3.若 $f(x)\neq 0,g(x)\neq 0$ ,则 $f(x)g(x)\neq 0$ ,且 $\partial(f(x)g(x))=\partial(f(x))+\partial(g(x))$

4.若 $a_n\neq 0,b_m\neq 0$ ,则f(x)g(x)的首项为 $a_nb_mx^{n+m}$ ,次数为n+m,(f(x)g(x)的首项系数=f(x)的首项系数*g(x)的首项系数)

运算规律

1.加法交换律 $f(x)+g(x)=g(x)+f(x)$

2.加法结合律 $(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))$

3.乘法交换律 $f(x)g(x)=g(x)f(x)$

4.乘法结合律 $(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))$

5.乘法对加法的分配律 $f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)$

6.乘法消去律 $f(x)g(x)=f(x)h(x),f(x)\neq 0\Rightarrow g(x)=h(x)$

证明：乘法结合律

证：

$设f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_ix^i,g(x)=\sum\limits_{j=0}^{m}b_jx^j,h(x)=\sum\limits_{k=0}^{l}c_kx^k$

$f(x)g(x)中s次项系数为\sum\limits_{i+j=s}a_ib_j$

$\therefore (f(x)g(x))h(x)中t次项系数为\sum\limits_{s+k=t}(\sum\limits_{i+j=s}a_ib_j)c_k=\sum\limits_{i+j+k=t}a_ib_jc_k$

$g(x)h(x)中r次项系数为\sum\limits_{j+k=r}b_jc_k$

$\therefore f(x)(g(x)h(x))中t次项系数为\sum\limits_{i+r=t}a_i(\sum\limits_{j+k=r}b_jc_k)=\sum\limits_{i+j+k=t}a_ib_jc_k$

$两边t次项系数一样,所以左右两边相等\qquad \mathcal{Q.E.D}$

证明：乘法消去律

证：

$\because f(x)g(x)=f(x)h(x)$

$\therefore f(x)(g(x)-h(x))=0$

$又f(x)\neq 0$

$\therefore g(x)-h(x)=0$

$即g(x)=h(x)\qquad \mathcal{Q.E.D}$

一元多项式环

定义：所有系数在数域P中的一元多项式的全体,称为数域P上的一元多项式环,记作P[x],P称为P[x]的系数域

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