信号与系统部分

一、计算（15分，每小题5分）
$1. \quad A=\{u(n)-u(n-2)\} *\{\delta (n) - \delta (n-1)\}$
$2. \quad B=\int _{-100}^{100}\sin (t) \delta (\cos (t)) dt$
$3. \quad$ 已知 $\mathscr{F}[x(t)]=X(jw)$ ，计算 $C=\mathscr{F}[x(t+T)+x(-t-T)]$

二、已知某系统的冲激响应为：（15分）
$h(t)=(e^{-2t} - e^{-3t})u(t)$
写出该系统的微分算子形式和微分方程。

三、题3图中， $i_e(t)=\delta(t)$ ， $R=10 \Omega$ ， $C=0.1F$ ， $L=10H$ ，求： $i_C(t)$ 和 $i_L(t)$ 。（15分）

四、已知： $X(z)=ln(1-2z),\quad |z|<\frac{1}{2}$ 。求 $x(n)$ 。（15分）

五、题5图所示系统：（15分）
（1）写出该系统差分方程。
（2）求该系统单位函数 $\delta(n)$ 响应。

数字信号处理部分

1.（18分＝2×9）填空：

(1) 两个有限长序列为，。
- 计算线性卷积 $x(n)* h(n)＝\{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad } \}$
- 计算6点的圆周卷积 $x(n)\quad ⑥\quad h(n)＝\{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad } \}$
- 计算8点的圆周卷积 $x(n)\quad ⑧\quad h(n)＝\{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad } \}$
(2) 设长度为 $N$ 的序列 $x(n)$ 的傅里叶变换为 $X(e)$ ，定义一个新序列
$\begin{equation} y(n)=\left\{ \begin{array}{ll} x(n)， & n为偶数 \\ 0， & n为奇数 \end{array}\right. \end{equation}$ 则 $Y(e^{jw})＝DTFT[y(n)]=\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad }$ .
(3) 一个长度为 $8$ 的序列 $x(n)$ 在 $0\leq n \leq7$ 之外为零，其 $8$ 点的 $DFT$ 为
$X(k)=1-4\sin(\frac{2\pi k}{8})+3\sin(\frac{4\pi k}{8})+2\cos(\frac{6\pi k}{8})$
则 $x(n)＝\{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad } \}$ .
(4) 已知 $LTI$ 系统的频率响应为 $H(e^{jw})＝\frac{1+e^{-j3w}}{1+0.5e^{-j6w}}$ ，输入信号为
$x(n)=\sin(\frac{\pi n}{6}), -\infty < n< \infty$ 。则系统的稳态输出信号 $y(n)＝\{\underline{\qquad \qquad \qquad } \}$ .
(5) 已知 $x(n)$ 是 $4$ 点的纯虚序列，并且已知 $X(k)＝DFT[x(n)]$ 的前 $3$ 个值为: $6j,-2-2j,6j$ ，则 $x(3)＝\{\underline{\qquad \qquad \qquad } \}$ .
(6) 有限长序列 $x(n)=\{2,3,1,4,-3,-1,1,1,0,,6; n=0,1,...,9\}$ ，且有 $10$ 点的 $X(k)=DFT[x(n)]$ 。计算： $X(5)＝\underline{\qquad \qquad \qquad } ，\sum _{k=0}^{9}X(k)＝\underline{\qquad \qquad \qquad }$ .

2.（7分）已知 $\begin{equation} X(k)=\left\{ \begin{array}{ll} 3， & k=0 \\ 1， & 1\leq k \leq 9 \end{array}\right. \end{equation}$ 求其 $10$ 点的 $IDFT$ ，并画出 $x(n)$ 的波形。

3.（16分）已知离散时间系统函数 $H(z)＝\frac{z^2}{(4-z)(z-0.5)}$
（1）写出对应的差分方程，并画出直接 $Ⅱ$ 型结构（典范型）流图。
（2）求所有可能的收敛区以及对应的单位抽样响应，并判断各个单位抽样响应
所对应系统的因果性和稳定性。

4.（14分）已知两个序列长度分别为 $5$ 和 $10$ ： $x_1(n)＝R_5(n)$ ，
$\begin{equation} x_2(n)=\left\{ \begin{array}{ll} 1， & 0\leq n \leq 4 \\ 0， & 5\leq n \leq 9 \end{array}\right. \end{equation}$ 且 $X_1(e^{jw})=DTFT[x_1(n)], X_2(e^{jw})＝DTFT[x_2(n)]$ 。
（1）请问 $X_1(e^{jw})$ 和 $X_2(e^{jw})$ 相等吗？并画出 $X_2(e^{jw})$ 的幅度频谱和相位频谱的大致波形。
（2）计算 $DFT$ ： $5$ 点的 $X_1(k)＝DFT[x_1(n)]$ ， $10$ 点的 $X_2(k)＝DFT[x_2(n)]$ 。
（3）上述 $X_1(k)$ 和 $X_2(k)$ 中有数值相等的吗？如有，写出那些相等的点和数值。

5.（10分）设有一 $FIR$ 数字滤波器，其单位冲激响应
$h(n)＝\{2,1,0,-1,-2；n＝0,1,2,3,4\}$ 求:
（1）该系统的频率响应 $H(e^{j\omega})$ ；
（2）如果记 $H(e^{j\omega})＝H(\omega)e^{j\varphi(\omega)}$ ，其中 $H(\omega)$ 为幅度函数（实函数）， $\varphi(\omega)$ 为相位函数，试求 $H(\omega)$ 与 $\varphi(\omega)$ ;
（3）该 $FIR$ 系统适合做何种类型的线性相位数字滤波器？（低通、高通、带通、带阻），说明判断依据；
（4）画出该 $FIR$ 系统的线性相位型结构流图。

6.（10分）
（1）请推导按时间抽选（ $DIT$ ）的基-2 $FFT$ 算法的原理，即通过计算两个 $N/2$ 点的 $DFT$ ，再组合可计算一个 $N$ 点 $DFT$ 。
（2）已知 $x(n)$ 是 $4$ 点的复序列， $x(n)＝\{5,-1＋2j,5,-1-2j \}$ ，
且 $X(k)＝DFT[x(n)]$ 。请画出 $4$ 点按时间抽取的基-2 $FFT$ 蝶形运算流图来，并直接通过该流图来计算出 $X(k)$ 的数值。（要求在流图上标出具体的输入、中间结点运算和输出的数值。）