姊妹不等式

图解姊妹不等式

下图中的一组不等式高考压轴题经常考到，知道的人要比不知道的人强好多。


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“姊妹不等式”的“家谱”图

你可以以“姊妹不等式”为基础理解下面的关系图：


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姊妹不等式导出的放缩工具

姊妹不等式，常常作为放缩工具使用。下面的放缩公式在考试中用到时要给出证明过程。

  1. \ln (x+1) \leqslant x(x>-1)
  2. e^{x} \geqslant x+1(x \in R)
  3. \ln x \geqslant \frac{2(x-1)}{x+1}(x \geqslant 1)
  4. \ln x \leqslant \frac{2(x-1)}{x+1}(0<x \leqslant 1)
  5. \ln x \leqslant \frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)(x \geqslant 1)
  6. \ln x \geqslant \frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)(0<x \leqslant 1)
  7. \ln (1+x) \geqslant x-\frac{x^{2}}{2}(x \geqslant 0)

有时间就证明上面的公式，是个不错的选择，一举多得。

放缩案例

对数放缩

把对数函数放大到一次函数

\ln x \leq x-1
还可以再大胆一些
\ln < x(注意没有等号了哦！）
当然还可以这样：\ln (x+1) \leq x.

放缩成双撇函数

\ln x < \frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})(x>1)
\ln x >\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})(0<x<1)

放缩成二次函数

\ln x \leq x^2-x
\ln (1+x) \leq x-\frac{1}{2}x^2\quad (-1<x \leq 0)
\ln (1+x) \geq x-\frac{1}{2}x^2\quad (x\geq 0)

放缩成反比例函数

\ln x \geq 1-\frac{1}{x}
\ln x>\frac{2(x-1)}{x+1}(x>1)
\ln x<\frac{2(x-1)}{x+1}(0<x<1)
\ln (1+x)=\frac{x}{1+x}
\ln (1+x)>\frac{2 x}{1+x}(x>0)
\ln (1+x)<\frac{2 x}{1+x}(x<0)

指数放缩

放缩成一次函数

e^{2}\geq x+1
e^{x}>x
e^{x}\geq ex

放缩成类反比例函数

e^{*} \leq \frac{1}{1-x}(x \leq 0)
e^{x}<-\frac{1}{x}(x<0)

放缩成二次函数

e^{x} \geq 1+x+\frac{1}{2} x^{2}(x>0)
e^{x}\leq 1+x+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{6} x^{3}

指对放缩

e^{x}-\ln x \geq (x+1)-(x-1)=2

三角函数放缩

\sin x<x<\tan x(x>0)
\sin x \geq x-\frac{1}{2} x^{2}
1=\frac{1}{2} x^{2} \leq \cos x \leq 1-\frac{1}{2} \sin ^{2} x

以直线y=x-1为切线的函数

y=\ln x
y=e^{x-1}-1
y=x^{2}-x
y=1-\frac{1}{x}
y=x \ln x

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