高等代数理论基础40：基变换与坐标变换

基变换与坐标变换

设 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 与 $\varepsilon'_1,\varepsilon'_2,\cdots,\varepsilon'_n$ 是n维线性空间V中两组基,它们有如下关系

$\begin{cases}\varepsilon'_1=a_{11}\varepsilon_1+a_{21}\varepsilon_2+\cdots+a_{n1}\varepsilon_n\\ \varepsilon'_2=a_{12}\varepsilon_1+a_{22}\varepsilon_2+\cdots+a_{n2}\varepsilon_n\\ \cdots\\ \varepsilon'_n=a_{1n}\varepsilon_1+a_{2n}\varepsilon_2+\cdots+a_{nn}\varepsilon_n\end{cases}$

设向量 $\xi$ 在这两组基下的坐标分别为 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 与 $(x'_1,x'_2,\cdots,x'_n)$ ,即 $\xi=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n$ , $\xi=x'_1\varepsilon'_1+x'_2\varepsilon'_2+\cdots+x'_n\varepsilon'_n$

$(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{nj}),j=1,2,\cdots,n$ 为基向量 $\varepsilon'_j(j=1,2,\cdots,n)$ 在第一组基下的坐标,向量 $\varepsilon'_1,\varepsilon'_2,\cdots,\varepsilon'_n$ 线性无关保证方程组系数矩阵的行列式不为零,即系数矩阵可逆

$\xi=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n$

$=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$

(将基写成 $1\times n$ 矩阵,将坐标写成 $n\times 1$ 矩阵)

$(\varepsilon'_1,\varepsilon'_2,\cdots,\varepsilon'_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$

$设A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$

A称为由基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 到 $\varepsilon'_1,\varepsilon'_2,\cdots,\varepsilon'_n$ 的过渡矩阵,A可逆

运算规律

设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 和 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$ 是V中两个向量组, $A=(a_{ij})_{n\times n},B=(b_{ij})_{n\times n}$ ,则

1. $((\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A)B=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)(AB)$

2. $(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A+(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)B$

$=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)(A+B)$

3. $(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A+(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)A$

$=(\alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,\cdots,\alpha_n+\beta_n)A$

$\xi=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$

$\xi=(\varepsilon'_1,\varepsilon'_2,\cdots,\varepsilon'_n)\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\\vdots\\x'_n\end{pmatrix}$

故 $\xi=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\\vdots\\x'_n\end{pmatrix}$

由基向量的线性无关性

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\\vdots\\x'_n\end{pmatrix}$

或 $\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\\vdots\\x'_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$

上式即为基变换下向量坐标变换公式

例：在n维空间 $P^n$ 中, $\begin{cases}\varepsilon_1=(1,0,\cdots,0)\\ \varepsilon_2=(0,1,\cdots,0)\\ \cdots\\ \varepsilon_n=(0,0,\cdots,1)\end{cases}$ 为一组基,

$\begin{cases}\varepsilon'_1=(1,1,\cdots,1)\\ \varepsilon'_2=(0,1,\cdots,1)\\ \cdots\\ \varepsilon'_n=(0,0,\cdots,1)\end{cases}$ 为另一组基

$(\varepsilon'_1,\varepsilon'_2,\cdots,\varepsilon'_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\ 1&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 1&1&\cdots&1\end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\ 1&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 1&1&\cdots&1\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots&0\\ -1&1&0&\cdots&0\\ 0&-1&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}$

故 $\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\\vdots\\x'_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots&0\\ -1&1&0&\cdots&0\\ 0&-1&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$

即 $x'_1=x_1$ , $x'_i=x_i-x_{i-1}(i=2,\cdots,n)$

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