高等数学：函数与极限题选(2)

1.根据函数极限的定义证明： $\lim_{x\to + \infty}{sinx\over \sqrt{x}}=0$

证：

$| {sinx \over \sqrt{x}} - 0 | \le {1 \over \sqrt{x}}$

$要使|{sinx \over \sqrt{x}}-0|\lt \varepsilon$

$只需 {1 \over \sqrt{x} }\lt \varepsilon, 即 x \gt {1 \over \varepsilon^2}$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,取M={1\over \varepsilon^2}\gt 0$

$当 x\gt M 时, 有 | {sinx \over \sqrt{x}} - 0 | \lt \varepsilon$

$\therefore \lim_{x\to + \infty} {sinx \over \sqrt{x}} = 0$

2.当 $x\to 2$ 时, $y=x^2\to 4$ ,求 $\delta$ 取值,使当 $|x-2|\lt \delta$ 时, $|y-4|\lt 0.001$

解：

$\because \lim_{x\to 2} x^2=4$

$不妨设|x-2| \lt 1,即1 \lt x \lt 3$

$则|x^2-4|=|x+2| \cdot |x-2| \lt 5|x-2|$

$要使|x^2-4|\lt \varepsilon$

$只需5|x-2|\lt \varepsilon,即|x-2|\lt {\varepsilon \over 5}$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,取\delta=min\{1,{\varepsilon \over 5}\}$

$当|x-2|\lt \delta时,有|x^2-4|\lt \varepsilon$

$取\varepsilon=0.001,则\delta=min\{1,{0.001 \over 5}\}=0.0002$

3.当 $x\to \infty$ 时, $y={x^2-1\over x^2+3}\to 1$ ,求X取值,使当 $|x|\gt X$ 时, $|y-1|\lt 0.01$

解：

$|{x^2-1\over x^2+3}-1|={4\over x^2+3}\lt {4\over x^2}$

$要使|{x^2-1\over x^2+3}-1|\lt \varepsilon$

$只需{4 \over x^2}\lt \varepsilon,即x\gt \sqrt{4\over \varepsilon}$

$\therefore \forall \varepsilon \gt 0,取X= \sqrt{4 \over \varepsilon}$

$当|x|\gt X时,有|{x^2-1\over x^2+3}-1|\lt \varepsilon$

$取\varepsilon=0.01,则X=\sqrt{4\over 0.01}=20$

4.证明函数f(x)=|x|当 $x\to 0$ 时极限为零

$\forall \varepsilon \gt 0,取\delta = \varepsilon,$

$当0\lt |x| \lt \delta时,|f(x)-0|=|x|\lt \delta=\varepsilon$

$\therefore \lim_{x\to 0}f(x)=0$

5.根据函数极限的定义证明：f(x)当 $x\to x_0$ 时极限存在的充要条件是左极限、右极限存在且相等

证：

$必要性：$

$若\lim_{x\to x_0}f(x)存在,不妨设为A$

$\forall \varepsilon \gt 0,\exists \delta_0\gt 0$

$当|x-x_0|\lt \delta_0时,|f(x)-A|\lt \varepsilon$

$\therefore 对上述\varepsilon \gt 0,取\delta_1=\delta_0$

$当x_0\lt x\lt x_0+\delta_1时,|f(x)-A|\lt \varepsilon$

$即\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A$

$同理可得$

$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=A$

$充分性：$

$若\exists \lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=A$

$\forall \varepsilon \gt 0,\exists \delta_1,\delta_2\gt 0$

$当x_0\lt x\lt x_0+\delta_1时,|f(x)-A|\lt \varepsilon$

$当x_0-\delta_2\lt x\lt x_0时,|f(x)-A|\lt \varepsilon$

$\therefore 对上述\varepsilon \gt 0,取\delta=min\{\delta_1,\delta_2\}$

$当0\lt |x-x_0|\lt \delta时,|f(x)-A|\lt \varepsilon$

$即\lim_{x\to x_0}f(x)=A$

6.叙述 $x\to \infty$ 时函数极限的局部有界性定理并证明

解：

$局部有界性定理：$

$若\lim_{x\to \infty}f(x)=A,则\exists M\gt 0,X\gt 0使得$

$当|x|\gt X时,有|f(x)|\le M$

$证：$

$\because \lim_{x\to \infty}f(x)=A$

$\therefore 取\varepsilon=1,\exists X\gt 0,当|x|\gt X时,有$

$|f(x)-A|\lt 1\Rightarrow |f(x)|\le |f(x)-A|+|A|\lt 1+|A|$

$取M=|A|+1,则定理成立$

7.根据定义证明 $y=xsin{1\over x}$ 为当 $x\to 0$ 时的无穷小

证明：

$\forall \varepsilon \gt 0,\exists \delta=\varepsilon,当0\lt |x|\lt \delta时,$

$|xsin{1\over x}-0|\lt |x|lt \delta=\varepsilon$

$\therefore \lim_{x\to 0}xsin{1\over x}=0$

$即y=xsin{1\over x}为当x\to 0时的无穷小$

8.根据定义证明 $y={1+2x\over x}$ 为当 $x\to 0$ 时的无穷大,并求x满足什么条件使 $|y|\gt 10^4$

证明：

$|{1+2x\over x}|=|{1\over x}+2|\ge |{1\over x}|-2$

$要使|{1+2x\over x}|\gt M$

$只需|{1\over x}|-2\gt M,即|x|\lt {1\over M+2},$

$\therefore \forall M\gt 0,\exists \delta={1\over M+2},$

$当0\lt |x|\lt \delta时,有|{1+2x\over x}|\gt M$

$\therefore \lim_{x\to 0}{1+2x\over x}=\infty$

$即y={1+2x\over x}为当x\to 0时的无穷大$

$取M=10^4,则\delta={1\over 10^4+2}={1\over 10002}$

$\therefore 当0\lt |x|\lt {1\over 10002}时,|y|\gt 10^4$

9.根据定义填写下表

$\begin{array}{c|c|c|c} &f(x)\to A&f(x)\to\infty&f(x)\to +\infty&f(x)\to -\infty\\ \hline x\to x_0& & & & \\ \hline x\to x_0^+& & & & \\ \hline x\to x_0^-& & & & \\ \hline x\to \infty& & & & \\ \hline x\to +\infty& & & & \\ \hline x\to -\infty& & & & \end{array}$

解：

$\begin{array}{c|c|c|c} &f(x)\to A&f(x)\to\infty&f(x)\to +\infty&f(x)\to -\infty\\ \hline x\to x_0&\forall \varepsilon \gt 0,\exists \delta \gt 0,&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0\\ &当0\lt |x-x_0|\lt \delta时,&当0\lt |x-x_0|\lt \delta时,&当0\lt |x-x_0|\lt \delta时,&当0\lt |x-x_0|\lt \delta时,\\ &有|f(x)-A|\lt \varepsilon&有|f(x)|\gt M&有f(x)\gt M&有f(x)\lt -M\\ \hline x\to x_0^+&\forall \varepsilon \gt 0,\exists \delta \gt 0,&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0\\ &当x_0\lt x\lt x_0+\delta时,&当x_0\lt x\lt x_0+\delta时,&当x_0\lt x\lt x_0+\delta时,&当x_0\lt x\lt x_0+\delta时,\\ &有|f(x)-A|\lt \varepsilon&有|f(x)|\gt M&有f(x)\gt M&有f(x)\lt -M\\ \hline x\to x_0^-&\forall \varepsilon \gt 0,\exists \delta \gt 0,&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0&\forall M \gt 0,\exists \delta \gt 0\\ &当x_0-\delta\lt x\lt x_0时,&当x_0-\delta\lt x\lt x_0时,&当x_0-\delta\lt x\lt x_0时,&当x_0-\delta\lt x\lt x_0时,\\ &有|f(x)-A|\lt \varepsilon&有|f(x)|\gt M&有f(x)\gt M&有f(x)\lt -M\\ \hline x\to \infty&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,\\ &当|x|\gt X时,&当|x|\gt X时,&当|x|\gt X时,&当|x|\gt X时,\\ &有|f(x)-A|\lt \varepsilon&有|f(x)|\gt M&有f(x)\gt M&有f(x)\lt -M\\ \hline x\to +\infty&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,\\ &当x\gt X时,&当x\gt X时,&当x\gt X时,&当x\gt X时,\\ &有|f(x)-A|\lt \varepsilon&有|f(x)|\gt M&有f(x)\gt M&有f(x)\lt -M\\ \hline x\to -\infty&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,&\forall \varepsilon \gt 0,\exists X\gt 0,\\ &当x\lt -X时,&当x\lt -X时,&当x\lt -X时,&当x\lt -X时,\\ &有|f(x)-A|\lt \varepsilon&有|f(x)|\gt M&有f(x)\gt M&有f(x)\lt -M\end{array}$

10.函数y=xcosx在 $(-\infty,+\infty)$ 内是否有界,是否为 $x\to +\infty$ 时的无穷大

解：

$无界$

$\forall M\gt 0,\exists x_0\in (M,+\infty),使cosx_0=1$

$\therefore y=x_0cosx_0=x_0\gt M$

$\therefore y=xcosx在(-\infty,+\infty)内无界$

$y=xcosx不是x\to +\infty时的无穷大$

$取M_0=1,\forall X\in N_+,\exists x_0=(2X+1){\pi\over 2}\gt X,使得$

$f(x_0)=(2X+1){\pi\over 2}\dot 0=0\lt M_0$

$\therefore y=xcosx不是x\to +\infty时的无穷大$

11.证明：函数y= ${1\over x}sin{1\over x}$ 在区间(0,1]内无界,但这函数不是 $x\to 0^+$ 时的无穷大

证：

$\forall M\in N_+,\exists x_0={1\over 2M+1}\cdot{2\over \pi}\in (0,1],使得$

$|f(x_0)|=(2M+1)\cdot{\pi\over 2}\gt M$

$\therefore y={1\over x}sin{1\over x}在区间(0,1]内无界$

$取M_0=1,\forall \delta\gt 0,\exists x_0={1\over \pi[{1\over \delta}+1]}\in(0,\delta)\subset (0,1]$

$|f(x_0)|=\pi[{1\over \delta}+1]\cdot 0=0\lt M_0$

$\therefore y={1\over x}sin{1\over x}不是x\to x^+时的无穷大$

法二：

$设x'_n={1\over 2n\pi}\to 0(n\to \infty)$

$f(x'_n)=0\to 0$

$设x''_n={1\over 2n\pi+{\pi\over 2}}\to 0(n\to \infty)$

$f(x''_n)=2n\pi+{\pi\over 2}\to \infty$

$\therefore y={1\over x}sin{1\over x}不是x\to x^+时的无穷大$

最后编辑于：2018.11.18 18:40:15

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