同济高等数学第七版1.6习题精讲

1.计算下列极限。

(1) $\lim_{x\to 0}{\frac{sin\omega x}{x}}$

(2) $\lim_{x\to 0}{\frac{tan3x}{x}}$

(3) $\lim_{x\to 0}{\frac{sin2x}{sin5x}}$

(4) $\lim_{x\to 0}xcotx$

(5) $\lim_{x\to 0}{\frac{1-cos2x}{xsinx}}$

(6) $\lim_{n\to \infty}2^nsin{\frac{x}{2^n}}$

解：(1)如果 $\omega\neq0$

$\lim_{x\to 0}{\frac{sin\omega x}{x}}=\lim_{x\to 0}{\frac{sin\omega x}{\omega x}}\omega=\omega$

如果 $\omega=0$ ，原式=0.

(2) $\lim_{x\to 0}{\frac{tan3x}{x}}=\lim_{x\to 0}{\frac{sin3x}{(cos3x)3x}}3=3$

(3) $\lim_{x\to 0}\frac{\frac{sin2x}{2x}}{\frac{sin5x}{5x}}\frac{2x}{5x}=\frac{2}{5}$

(4) $\lim_{x\to 0}xcotx=\lim_{x\to 0}\frac{x}{tanx}=1$

(5) $\lim_{x\to 0}{\frac{1-cos2x}{xsinx}}=\lim_{x\to 0}{\frac{2sin^2x}{xsinx}}=\lim_{x\to 0}{\frac{2sinx}{x}}=2$

(6) $\lim_{n\to \infty}2^nsin{\frac{x}{2^n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{sin{\frac{x}{2^n}}}{\frac{x}{2^n}}x=x$

2.计算下列极限。

(1) $\lim_{x\to 0}{(1-x)}^{\frac{1}{x}}$

(2) $\lim_{x\to 0}{(1+2x)}^{\frac{1}{x}}$

(3) $\lim_{x\to \infty}{(\frac{1+x}{x}})^{2x}$

(4) $\lim_{x\to \infty}{[1-(\frac{1}{x}})]^{kx}$

解：(1) $\lim_{x\to 0}{(1-x)}^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}{(1-x)}^{(-\frac{1}{x})(-1)}=e^{-1}=\frac{1}{e}$

(2) $\lim_{x\to 0}{(1+2x)}^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}{(1+2x)}^{\frac{1}{2x}2}=e^2$

(3) $\lim_{x\to \infty}{(\frac{1+x}{x}})^{2x}=\lim_{x\to \infty}{(1+\frac{1}{x}})^{(x)(2)}=e^2$

(4) $\lim_{x\to \infty}{[1-(\frac{1}{x}})]^{kx}=\lim_{x\to \infty}{[1-(\frac{1}{x}})]^{(-x)(-k)}=e^{-k}$

3.根据函数极限的定义，证明极限存在的准则 $I'$ 。

如果(1) $g(x)\leq f(x)\leq h(x),x\in U(x_0,r)$ ;

(2) $lim_{x\to x_0}g(x)=A,lim_{x\to x_0}h(x)=A$ ;

那么 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在，且等于A。

证明：因为 $lim_{x\to x_0}g(x)=A$ ;则对于任意小的 $\epsilon>0$ ，总存在 $\delta_1>0$ ,当 $0<|x-x_0|<\delta_1$ 时， $|g(x)-A|<\epsilon$ 恒成立。

又因为 $lim_{x\to x_0}h(x)=A$ ;则对于任意小的 $\epsilon>0$ （可以认为与上面的 $\epsilon$ 一样，总存在 $\delta_2>0$ ,当 $0<|x-x_0|<\delta_2$ 时， $|h(x)-A|<\epsilon$ 恒成立。

所以，取 $\delta=min\{\delta_1,\delta_2,r\}$ 时，也会有当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有三明治定理，也叫夹挤定理可得 $|f(x)-A|<\epsilon$ 恒成立。

4.利用极限存在准则证明：

(1) $\lim_{n\to \infty}{\sqrt {1+\frac{1}{n}}}=1$ ;
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^{2}+\pi}+\frac{1}{n^{2}+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n \pi}\right)=1$
(3)数列 $\sqrt{2}, \sqrt{2+\sqrt{2}}, \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \cdots$ 的极限存在
(4) $\lim _{x \rightarrow 0}\sqrt[n]{1+x}=1$
(5) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x\left[\frac{1}{x}\right]=1$

证明：(1)因为 $1<{\sqrt {1+\frac{1}{n}}}<1+\frac{1}{n}$ ，所以同时取极限后极限等于1.

(2) $\frac{n^2}{n^2+n\pi}<n\left(\frac{1}{n^{2}+\pi}+\frac{1}{n^{2}+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n \pi}\right)<\frac{n^2}{n^2+pi}$

所以同时取极限后极限等于1.

(3)利用单调有界数列来证明。

使用数学归纳法， $a_1=\sqrt2<2$ 显然成立，假设 $n=k，a_k<2$ 也成立，那么当 $n=k+1$ 时， $\sqrt{2+a_k}<2$ 成立，所以可证得该数列为有界数列。

同时 $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}>a_{n}$ ,(原因很简单，你看它多2呀)。所以该数列单调递增。

终上所述，该数列存在极限。通过观察可以获得该数列有规律 $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ 假设极限答案为常数 $A$ ，对上式取极限，根据极限唯一性可得 $A=\sqrt{2+A}$ ,所以 $A=2$ ,而舍去 $A=-1$ 。

(4) $1<\sqrt[n]{1+x}<1+x$ ，所以同时取极限后极限等于1.

(5) 因为当 $x>0$ 时，有 $1-x<x[\frac{1}{x}]<1+x$ ，所以同时取极限后极限等于1.

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