同济高等数学第七版2.1习题精讲（续三）

10.已知物体的运动规律为s=t^3m,求这个物体在t=2s时的速度。

解：求导v=3t^2|_{t=2}=12m/s

11.如果f(x)是偶函数，且f'(0)存在，证明f'(0)=0

证明：f(x)为偶函数，则f(-x) =f(x)
f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(-x)-f(0)}{x-0}
=-\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(-x)-f(0)}{-x-0}
=-f^{\prime}(0)

所以只能f'(0)=0

12.求曲线y=sinx在x=\frac{2}{3}\pi,x=\pi处的切线的斜率。

解：切线的斜率等于在该点处的导数。经过求导和运算可得曲线y=sinx在x=\frac{2}{3}\pi,x=\pi处的切线的斜率为-\frac{1}{2},-1。

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