同济高等数学第七版2.1习题精讲（续三）

10.已知物体的运动规律为 $s=t^3m$ ,求这个物体在 $t=2s$ 时的速度。

解：求导 $v=3t^2|_{t=2}=12m/s$

11.如果 $f(x)$ 是偶函数，且 $f'(0)$ 存在，证明 $f'(0)=0$

证明： $f(x)$ 为偶函数，则 $f(-x) =f(x)$
$f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(-x)-f(0)}{x-0}$
$=-\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(-x)-f(0)}{-x-0}$
$=-f^{\prime}(0)$

所以只能 $f'(0)=0$

12.求曲线 $y=sinx$ 在 $x=\frac{2}{3}\pi,x=\pi$ 处的切线的斜率。

解：切线的斜率等于在该点处的导数。经过求导和运算可得曲线 $y=sinx$ 在 $x=\frac{2}{3}\pi,x=\pi$ 处的切线的斜率为 $-\frac{1}{2},-1$ 。

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