具有偶数个数位的回文数一定是 11 的倍数

证明

写出通项
x = a_n * 10 ^ {2n - 1} + ... + a_1 * 10 ^ {n} + a_1 * 10 ^ {n - 1} + ... + a_n * 10 ^ {0}
合并同类项
x = a_n * (10 ^ {2n - 1} + 1) + a_{n - 1} * (10 ^ {2(n-1) - 1} + 1) * 10 + ... + a_1 * (10 ^ {1} + 1) * 10 ^ {n - 1}
发现每一项都有一个形如 10^{2k - 1} + 1 的因子，k ∈ [1, n]

现在证明 10^{2k - 1} + 1 是 11 的倍数

10^{2k - 1} + 1 - 11 等于一个数，这个数前 2k - 2 位都是 9，最后一位为 0，而一个具有偶数个数位，且每一位都相等的数，显然是可以被 11 整除的

证毕

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