无论是在数学还是艺术领域，19世纪上半叶都是从古典（或近代）进入现代的关键时期，走在最前列的依然是生性敏感的数学家和诗人。爱伦·坡和波德莱尔的相继出现，非欧几何学和非交换代数的接连问世，标志着以亚里士多德的《诗学》和欧几里得的《几何原本》为准则的延续了2000多年的古典时代的终结。可是，由于强大的惯性，分析时代的影响力犹在，并经历了严格化和精细化的过程，但分析似乎没有像代数和几何那样，出现里程碑式的转折点。
在分析人才辈出的法国，19世纪最主要的数学家是柯西。27岁那年，他受聘成为巴黎综合理工学院的数学和力学教授，并替补因追随拿破仑而被放逐的蒙日成为法兰西科学院院士。柯西把自己在分析方面的许多成果都写进了巴黎综合理工学院的讲义，这些以严格化为目的的教材内容包括变量、函数、极限、连续性、导数和微分等微积分学的基本概念。他给出的许多定义和论述基本上已是微积分的现代形式，这是向分析严格化迈出的关键一步。
就在拿破仑在圣赫勒拿岛去世的那年，即1821年，在欧洲大陆的最北端，19岁的挪威青年阿贝尔进入了奥斯陆大学。三年以后，他自费发表了一篇论文《论一般五次代数方程之不可解性》，其中证明了以下结果：如果一个多项式的次数不少于五次，那么任何由它的系数组成的根式都不可能是该方程的根。这个结果的意义非常重大，自从中世纪的阿拉伯数学家将二次方程理论系统化，文艺复兴时期的意大利数学家通过公开辩论解决了三次和四次方程的求解问题，200多年来数学家们渴望破解的就是五次和五次以上方程的根。阿贝尔定理奠定了代数函数的积分理论和阿贝尔函数方程的基础，阿贝尔方程群大大推进了椭圆函数的研究。他被公认为近代数学发展的先驱和19世纪最伟大的数学家之一，就连最高面值的挪威克朗纸币上也印有他的肖像。
直到被誉为数学界“兰波”的少年天才伽罗华（1811-1832），他的数学思想“将一个n次方程的n个根作为一个整体来考察，并研究它们之间的重新排列（置换）”，“群”的概念最终解决了阿贝尔留下的“什么样的方程可以用根式来求解？”这个问题。伽罗华的工作开启了近世代数的研究，不仅解决了方程可解性这个300多年的数学难题，更重要的是，包括运算对象在内的群的概念（与元素的对象无关，置换群只是其特例）的引进，推动了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。
遗憾的是，从小接受了良好教育的伽罗华，本可以避免像阿贝尔那样英年早逝的悲剧命运，却因人生这样那样的不顺，20岁就因与人决斗丧命。
在伽罗华提出群的概念之后，代数学领域接下来的一个重大发现是四元数。这是历史上第一次出现不满足乘法交换律的数系，虽然四元数本身的作用与伽罗华的群理论或阿贝尔的椭圆函数无法相提并论，但对于代数学的发展来说却是革命性的。
用复数来表示向量及其运算有一个很大的便利之处，就是无须通过几何作图就可以用代数方法研究它们。但是，人们很快又遇到了新的问题，复数的用途是有限制的。由于几个力对物体的作用不一定在同一个平面上，这样一来就需要复数的三维形式，人们可能会自然而然地想到用笛卡尔坐标系(x, y, z)来表示从原点到该点的向量。遗憾的是，不存在三元数组的运算来对应向量的运算。
30岁就被封爵士的哈密尔顿，在1837年发表文章中，第一次指出复数a + bi中加号的使用只是历史的偶然，复数可用有序偶(a, b)表示。他给这种有序偶定义了加法和乘法运算法则，同时，他还证明了这两种运算是封闭的，并满足交换律和结合律。经过长期的努力，他发现所要找的新数至少有4个分量，此外，还必须放弃自古以来数的乘法都满足的交换律。他把这种新数命名为四元数。从此以后，数学家们可以更加自由地建立新的数系。
数学家凯莱（1821—1895）更是从线性变换中提取出矩阵的概念及运算法则。还率先引入了n维空间的概念，详细讨论了四维空间的性质，他和“矩阵“提出者西尔维斯特共同建立了代数不变量理论，在量子力学和相对论的创立过程中发挥了作用。
正如从古典艺术到现代艺术的演变以诗歌为先导，科学革命的最早动力来源于数学，尤以几何学的变革为标志。它们的共同特点是，从模仿到机智，从形象到抽象。它们之所以能在同一个时段到达这一境界，我们相信这与现实世界的发展和人类思维方式的改变和进化有关。无论如何，其困难程度可想而知。以非欧几何学为例，它的出现与哥白尼的日心说、牛顿的万有引力定律、达尔文的进化论一样，遇到了重重阻力，并因此在科学、哲学、宗教等领域产生了革命性的影响。
自从亚里士多德以来，在文学艺术以模仿说为准则的同时，科学尤其是数学也一直被视作绝对真理的典范。古典数学在西方思想中拥有与宗教一样神圣不可侵犯的地位，欧几里得是庙堂中职位最高的“神父”。
一般来说，在我们的日常生活中，欧几里得几何更适用；在宇宙空间或原子核世界，罗巴切夫斯基几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题，黎曼几何更准确一些。不过，空间和物理之间总存在难以厘清的关系，要确定某些物理空间适用欧几里得几何还是非欧几何并不容易。因为只要在假定的空间和物理性质方面做适当的补充和改变，一个观察结果就可以用多种方法解释。
非欧几何学的诞生和代数学的革命，与微积分学产生的原因并不一致，不是出于科学和社会经济发展的需要，而是出于数学内部发展的需要。
