多项式题选(1)

1. $m,p,q$ 适合什么条件时,有 $x^2+mx+1|x^4+px^2+q$

解：

$x^2+mx+1|x^4+px^2+q$

$\Leftrightarrow \exists g(x)$ 使 $x^4+px^2+q=(x^2+mx+1)g(x)$

设 $g(x)=x^2+ax+q$ ,代入得

$\begin{cases}a+m=0\\ 1+am+q=p\\ a+qm=0\end{cases}$

$\therefore x^2+mx+1|x^4+px^2+q$

$\Leftrightarrow p=2-m^2,q=1$ 或 $p=q+1,m=0$

2.求 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的商 $q(x)$ 与余式 $r(x)$ ：

$(1)f(x)=2x^5-5x^3-8x,g(x)=x+3$

$\begin{array}{c|ccc}-3&2&0&-5&0&-8&0\\ & &-6&18&-39&117&-327\\\hline &2&-6&13&-39&109&-327\end{array}$

$\therefore q(x)=2x^4-6x^3+13x^2-39x+109,r(x)=-327$

$(2)f(x)=x^3-x^2-x,g(x)=x-1+2i$

$\begin{array}{c|ccc}1-2i&1&-1&-1&0\\ & &1-2i&-4-2i&-9+8i\\\hline &1&-2i&-5-2i&-9+8i\end{array}$

$\therefore q(x)=x^2-2ix-(5+2i),r(x)=-9+8i$

3.把 $f(x)$ 表成 $x-x_0$ 的方幂和,即表成

$c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+\cdots$ 的形式：

$(1)f(x)=x^5,x_0=1$

$(2)f(x)=x^4-2x^2+3,x_0=-2$

$(3)f(x)=x^4+2ix^3-(1+i)x^2-3x+7+i,x_0=-i$

解：

$(1)f(x)=x^5,x_0=1$

$\begin{array}{c|ccc}1&1&0&0&0&0&0\\ & &1&1&1&1&1\\\hline 1&1&1&1&1&1&1\\ & &1&2&3&4\\\hline 1&1&2&3&4&5\\ & &1&3&6\\\hline 1&1&3&6&10\\ & &1&4\\\hline 1&1&4&10\\ & &1\\\hline &1&5\end{array}$

$f(x)=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)+1$

$=[(x^3+2x^2+3x+4)(x-1)+5](x-1)+1$

$=(x^3+2x^2+3x+4)(x-1)^2+5(x-1)+1$

$=[(x^2+3x+6)(x-1)+10](x-1)^2+5(x-1)+1$

$=(x^2+3x+6)(x-1)^3+10(x-1)^2+5(x-1)+1$

$=[(x+4)(x-1)+10](x-1)^3+10(x-1)^2+5(x-1)+1$

$=(x+4)(x-1)^4+10(x-1)^3+10(x-1)^2+5(x-1)+1$

$=(x-1)^5+5(x-1)^4+10(x-1)^3+10(x-1)^2+5(x-1)+1$

$\therefore x^5=(x-1)^5+5(x-1)^4+10(x-1)^3+10(x-1)^2+5(x-1)+1$

$(2)f(x)=x^4-2x^2+3,x_0=-2$

$\begin{array}{c|ccc}-2&1&0&-2&0&3\\ & &-2&4&-4&8\\\hline -2&1&-2&2&-4&11\\ & &-2&8&-20\\\hline -2&1&-4&10&-24\\ & &-2&12\\\hline -2&1&-6&22\\ & &-2\\\hline -2&1&-8\end{array}$

$\therefore f(x)=(x+2)^4-8(x+2)^3+22(x+2)^2-24(x+2)+11$

$(3)f(x)=x^4+2ix^3-(1+i)x^2-3x+7+i,x_0=-i$

$\begin{array}{c|ccc}-i&1&2i&-1-i&-3&7+i\\ & &-i&1&-1&4i\\\hline &1&i&-i&-4&7+5i\\ & &-i&0&-1\\\hline &1&0&-i&-5\\ & &-i&-1\\\hline &1&-i&-1-i\\ & &-i\\\hline &1&-2i\end{array}$

$\therefore f(x)=(x+i)^4-2i(x+i)^2-(1+i)(x+i)^2-5(x+i)+7+5i$

注：

1.设 $f(x)$ 表成 $c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+\cdots+c_n(x-x_0)^n$ ,

显然 $c_0$ 为 $f(x)$ 被 $x-x_0$ 除得的余数,

$f(x)=[c_n(x-x_0)^{n-1}+c_{n-1}(x-x_0)^{n-2}+\cdots+c_1](x-x_0)+c_0$

$=f_1(x)(x-x_0)+c_0$

显然 $c_1$ 为 $f_1(x)$ 被 $x-x_0$ 除得的余数

逐次进行综合除法可得系数 $c_0,c_1,\cdots,c_{n-1},c_n$

2.把一个多项式表成 $x-c$ 的方幂和在数学分析求不定积分的分部积分法中有用

4.求 $u(x)$ , $v(x)$ 使 $u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))$ ：

$(1)f(x)=x^4+2x^3-x^2-4x-2,g(x)=x^4+x^3-x^2-2x-2$

$(2)f(x)=4x^4-2x^3-16x^2+5x+9,g(x)=2x^3-x^2-5x+4$

$(3)f(x)=x^4-x^3-4x^2+4x+1,g(x)=x^2-x-1$

解：

$(1)f(x)=x^4+2x^3-x^2-4x-2,g(x)=x^4+x^3-x^2-2x-2$

$\qquad\qquad\qquad\qquad f(x)\qquad\qquad\qquad\qquad g(x)$

$\begin{array}{c|l|l|c}q_1(x)=1&x^4+2x^3-x^2-4x-2&x^4+x^3-x^2-2x-2&q_2(x)=x+1\\ &x^4+x^3-x^2-2x-2&x^4-2x^2& \\ \hline q_3(x)=x&r_1(x)=x^3-2x&x^3+x^2-2x-2\\ &x^3-2x&x^3-2x& \\ \hline &r_3(x)=0&r_2(x)=x^2-2 \end{array}$

$\therefore f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)$

$g(x)=q_2(x)r_1(x)+r_2(x)$

$r_1(x)=q_3(x)r_2(x)+0$

$\therefore (f(x),g(x))=r_2(x)=x^2-2$

$=g(x)-q_2(x)r_1(x)$

$=g(x)-q_2(x)[f(x)-q_1(x)g(x)]$

$=-q_2(x)f(x)+[1+q_1(x)q_2(x)]g(x)$

$\therefore u(x)=-q_2(x)=-x-1$

$v(x)=1+q_1(x)q_2(x)=x+2$

$(2)f(x)=4x^4-2x^3-16x^2+5x+9,g(x)=2x^3-x^2-5x+4$

$\qquad\qquad\qquad\qquad f(x)\qquad\qquad\qquad\qquad g(x)$

$\begin{array}{c|l|l|c}q_1(x)=2x&4x^4-2x^3-16x^2+5x+9&2x^3-x^2-5x+4&q_2(x)=-{1\over 3}x+{1\over 3}\\ &x^4-2x^3-10x^2+8x&2x^3+2x^2-3x& \\ \hline q_3(x)=6x+9&r_1(x)=-6x^2-3x+9&-2x^2-2x+4\\ &6x^2+6x&-2x^2-x+3& \\ \hline &-9x+9&r_2(x)=-x+1\\ \hline &-9x+9\\ \hline &0 \end{array}$

$\therefore f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)$

$g(x)=q_2(x)r_1(x)+r_2(x)$

$r_1(x)=q_3(x)r_2(x)+0$

$\therefore (f(x),g(x))=-r_2(x)=x-1$

$r_2(x)=g(x)-q_2(x)r_1(x)$

$=g(x)-q_2(x)[f(x)-q_1(x)g(x)]$

$=-q_2(x)f(x)+[1+q_1(x)q_2(x)]g(x)$

$\therefore u(x)=q_2(x)=-{1\over 3}x+{1\over 3}$

$v(x)=-[1+q_1(x)q_2(x)]={2\over 3}x^2-{2\over 3}x-1$

$(3)f(x)=x^4-x^3-4x^2+4x+1,g(x)=x^2-x-1$

$\qquad\qquad\qquad\qquad f(x)\qquad\qquad\qquad\qquad g(x)$

$\begin{array}{c|l|l|c}q_1(x)=x^2-3&x^4-x^3-4x^2+4x+1&x^2-x-1&q_2(x)=x+1\\ &x^4-x^3-x^2&x^2-2x& \\ \hline &-3x^2+4x+1&x-1\\ &-3x^2+3x+3&x-2& \\ \hline &r_1(x)=x-2&r_2(x)=1\\ \end{array}$