开刷：《信号与系统》 Lec #21 第二部分拉普拉斯变换性质

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

0. 涉及内容

p.435 - p.449

1. 拉普拉斯变换性质

1.1 线性性质

若

$x_1(t) \quad \xleftrightarrow{L} \quad X_1(s), \quad ROC = R_1$

$x_2(t) \quad \xleftrightarrow{L} \quad X_2(s), \quad ROC = R_2$

那么

$ax_1(t) + bx_2(t) \quad \xleftrightarrow{L} \quad aX_1(s) + bX_2(s), \quad ROC \supseteq R_1 \cap R_2$

注意到，运用线性性质后，收敛域可能不是简单的交集，有可能比交集更大。例如书上例9.13，

$x(t) = x_1(t) - x_2(t)$

$X_1(s) = \frac{1}{s+1}, \quad Re\{ s \} > -1$

$X_2(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)}, \quad Re\{ s \} > -1$

$X(s) = X_1(s) - X_2(s) = \frac{s+1}{(s+1)(s+2)} = \frac{1}{s+2}, \quad Re\{ s \} > -2$

在这个例子中， $s=-1$ 的极点和 $s=-1$ 零点相抵消，于是 $X(s)$ 的收敛域被 $s = -2$ 所界定。

1.2 时移性质

$x(t - t_0) \quad \xleftrightarrow{L} \quad e^{-st_0} X(s)$

ROC不变

1.3 s域平移

$e^{s_0 t} x(t) \quad \xleftrightarrow{L} \quad X(s-s_0), \quad ROC = R+Re\{ s_0 \}$

1.4 时域尺度变换

$x(at) \quad \xleftrightarrow{L} \quad \frac{1}{\vert a \vert} X( {\frac{s}{a}} ), \quad ROC R_1 = \vert a \vert R$

$x(-t) \quad \xleftrightarrow{L} \quad X(-s), \quad ROC = -R$

1.5 共轭

$x^*(t) \quad \xleftrightarrow{L} \quad X^*(s^*)$

ROC不变

因此，如果 $x(t)$ 是一个实函数，那么 $X(s) = X^*(s^*)$ 。所以我们说实信号的拉普拉斯变换零极点是共轭成对出现的。

1.6 卷积性质

$x_1(t) * x_2(t) \quad \xleftrightarrow{L} \quad X_1(s) X_2(s) , \quad ROC \supseteq R_1 \cap R_2$

$X_1(s) X_2(s)$ 的收敛域应该包含 $X_1(s)$ 和 $X_2(s)$ 收敛域的交集。如果相乘过程中出现了零极点相消，那么 $X_1(s) X_2(s)$ 的收敛域可能就比它们的交集大。

1.7 时域微分

$\frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t} \quad \xleftrightarrow{L} \quad s X(s), \quad ROC \supseteq R$

微分信号的拉普拉斯变换的收敛域可能比原始信号的大，是因为 $s X(s)$ 这个乘积中，如果 $X(s)$ 有 $s=0$ 的极点被 $s$ 抵消，那么 $s X(s)$ 的收敛域就比 $X(s)$ 大。例如 $u(t)$ 的收敛域是 $Re\{ s \}>0$ ， $u(t)$ 的导数为 $\delta (t)$ ，其拉普拉斯变换收敛域为整个s平面。

1.8 s域微分

$-tx(t) \quad \xleftrightarrow{L} \quad \frac{\mathrm{d} X(s)}{\mathrm{d} s }$

ROC不变。

1.9 时域积分

$\int_{- \infty}^{t} x(\tau) \mathrm{d} \tau \quad \xleftrightarrow{L} \quad \frac{1}{s} X(s), \quad ROC \supseteq R \cap \{ Re \{ s \} > 0 \}$

因为时域积分是信号与单位阶跃信号的卷积，即

$\int_{- \infty}^{t} x(\tau) \mathrm{d} \tau = x(t) * u(t)$

而

$u(t) \quad \xleftrightarrow{L} \quad \frac{1}{s}, \quad Re\{ s \} > 0$

那么根据1.6卷积性质，卷积后的信号的拉普拉斯变换的收敛域包含两信号拉普拉斯变换收敛域的交集。

1.10 初值定理与终值定理

$x(0^+) = \lim_{s \to \infty} sX(s)$

$\lim_{t \to \infty} x(t) = \lim_{s \to 0} sX(s)$

2. 用拉普拉斯变换分析与表征线性时不变系统

根据卷积性质，一个LTI系统的输入输出有如下关系，

$Y(s) = H(s) X(s)$

其中 $H(s)$ 为系统单位冲激响应的拉普拉斯变换，被称为系统函数或转移函数。另外提一句，当 $s=j \omega$ 时， $H(j \omega)$ 是系统的频率响应。

2.1 因果性

回忆因果性，当一个LTI系统具有因果性时，其单位冲激响应在 $t<0$ 时为0. 因此有如下结论，

一个因果系统的系统函数的收敛域是某个右半平面。

上述结论反过来说不一定正确，除非系统函数是有理的。

对于一个具有有理系统函数的系统来说，系统的因果性等效于收敛域位于最右极点的右边。

2.2 稳定性

当且仅当系统函数 $H(s)$ 的收敛域包括 $j \omega$ 轴时，即 $Re\{ s \} = 0$ ，一个LTI系统就是稳定的。

综合因果性和稳定性，有如下结论，

当且仅当 $H(s)$ 的全部极点都位于s平面的左半平面时，也即所有极点都具有负实部时，一个具有有理系统函数的因果系统才是稳定的。

2.3 由线性常系数微分方程表征的线性时不变系统

考虑如下形式的线性常系数微分方程，

$\sum_{k=0}^{N} a_k {\frac{\mathrm{d} ^k y(t)} { {\mathrm{d}} t ^k } } = \sum_{k=0}^{M} b_k {\frac{\mathrm{d} ^k x(t)} { {\mathrm{d}} t ^k } }$

反复利用线性和微分性质，可得，

$H(s) = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k s^k }{\sum_{k=0}^{N} a_k s^k}$

因此，一个由微分方程表征的系统，其系统函数总是有理的，它的零点就是如下方程的解，

$\sum_{k=0}^{M} b_k s^k = 0$

极点就是如下方程的解，

$\sum_{k=0}^{N} a_k s^k = 0$

我们发现，上面的系统函数 $H(s)$ 并没有包含收敛域的说明，这是因为单靠微分方程本身并不能限制收敛域，需要依靠附加条件，例如初始松弛可以得出因果性，稳定性可以推论出收敛域包含 $j \omega$ 轴。

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