浙教版数学九年级上册第三章《圆的基本性质》3.5圆周角（2）第91页用加粗黑体字是这样叙述圆周角定理推论2的内容：“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。”前几天刚好教到这里，三年一循环，在课堂上我斗胆又一次把这个教材中的圆周角定理推论2揶揄了一番，再一次当成反面教材给学生讲解！不过这一次跟前几次讲更加有底气有说服力！为何？听我慢慢道来。
大家都知道，命题有真假之分，初中数学真命题包括公理（基本事实）、定理及定理的推论等。任何命题都由题设（已知条件）和结论两部分组成，并且都可以改写成"如果······，那么······。"的形式。把原命题的题设和结论互换就得到它的逆命题，真（或假）命题的逆命题未必是真（或假）命题，因此作为真命题的定理未必有逆定理，除非其逆命题为真命题。
数学是一门培养学生严谨思维的科学，对其本身而言就有严密性的要求，比如一个命题条件的变化，都会导致命题真假性或严密性受到影响！命题的真假性判断容易，非真即假，非假即真。严密性是特别针对真命题来讲的，一个真命题就要做到严密性！那何为严密性？按我对学生的通俗讲法，严密性就是真命题的条件要做到刚刚好，不多不少，不过宽不过窄。条件不加限制就是过宽，过宽的条件必然会导致假命题的产生；条件无谓限制就是过窄，过窄的条件未必会导致真命题真假性的改变，但必然会影响真命题的严密性！图形镶嵌就是做到了各板块之间没空隙（不过宽），没重叠（不过窄）才叫真正镶嵌，同样定理（推论）只有做到条件不过宽不过窄才叫数学定理！
下面举几个命题让大家体验一下条件过宽或过窄对命题真假性和严密性的影响。
命题1:三点确定一个圆。
命题2:平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的弧。
命题3:同一条弦所对的圆周角相等。
命题4:垂直于同一条直线的两直线平行。
命题5:在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行。
命题6:在同一平面内，三角形的内角和等于180度。
很显然命题1-4都是由于条件过宽，没有加以必要的限制导致全是假命题。要使它们成为真命题，只要依次加上限制条件即可，分别为：1、不在同一条直线上的三点确定一个圆。2、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的弧。3、同一条弦在同一侧所对的圆周角相等。4、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。至于命题5和6就是由于条件过窄（无谓限制在同一平面内），尽管还是真命题，但真命题的严密性出问题了，因为去掉限制条件"在同一平面内"，命题仍然成立！故而这样的真命题，加上限制条件就是画蛇添足，多此一举！在数学的角度看就是缺乏"严密性"。
浙教版教材对数学定理（推论）的描述的"真假性"当然不会出现这么低级的错误问题，因为有科学性做保障，描述的"严密性"也做得可圈可点，举两个例子就能说明我说的"两性"特别是"严密性"，作为教材的编写者是有考究的。1、原定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。逆定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。2、原定理：角平分线上的点到角的两边距离相等。逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
第1个例子中讲的是线段中垂线性质定理及其逆定理，只要互换彼此的条件和结论就能得到彼此的逆定理，非常简单。而第2个例子讲的是角平分线性质定理及其逆定理就稍难点了，因为角的平分线是射线，而到角的两边距离相等的点除了在这个角的角平分线上外，这条角平分线的反向延长线上的点到这个角的两边距离也相等，当然这个角的邻补角的角平分线所在的直线上的点也满足要求，因此要得到原定理的逆定理，从描述数学定理的严密性角度看，如果以"这些点在角平分线上"为结论（跟原定理的条件对应），那么原定理的结论"点到角的两边距离相等"（跟逆定理的条件对应）对于逆定理来说就会出现条件过宽的问题，教材在原定理（"角平分线上的点到角两边距离相等"）的逆命题（"到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上"）的前面加上"在角的内部"自有它的道理了！我想编者就是出于考虑"严密性"的问题。
有了前面的长篇铺垫，如果大家都达成共识的话，那么下面进入主题的内容就不难理解了。众所周知，同弧意味着在同圆中，等弧也意味着在同圆或等圆中，总之不管是同弧还是等弧都意味着在同圆或等圆中了，如果在“同弧或等弧”前面再加上“同圆或等圆”的限制条件，等于是“脱裤子放屁——多此一举”，从数学“严密性”角度来讲，虽然没有出现前面所讲的条件“过宽过窄”问题，但出现了条件“重复”问题，也可以把它归为广义上的“过宽过窄”问题。因此“同弧或等弧所对的圆周角相等”根本不需要条件“在同圆或等圆中”！而恰恰相反，这个定理（为了叙述方便姑且把这个真命题叫定理）的逆命题“相等的圆周角所对的弧相等”要使它成为该定理的逆定理，必须要加上“在同圆或等圆中”这个限制条件。
现在看浙教版数学教材九上第91页的原话：“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。”大家发现没有就是出现了上面的问题！也许有人说看见分号没有，“在同圆或等圆中”就是下面两个结论的大前提，没错，抛开条件“重复”这个问题不说，如果教师不仔细深究，我们的学生有这么仔细吗？根据本人教了七届毕业班的经历，前几届讲到这里都要反复解释，想维护教材的权威性，自圆其说！后几届我就不维护了，干脆拿教材当“反面教材”，真是无心插柳柳成荫，有趣的是学生反而在这个知识点上掌握的很好。同时也培养了学生不唯书，不迷信书的批判思想。
不过出于对数学科学的“严密性”和全省教材的“权威性”考虑，与其像我这样“自圆其说”或当“反面教材”，不如干脆“修改教材”！修改非常简单，只要把两个结论做下调换，去掉“也”字，把分号改成句号即可。就是：“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。同弧或等弧所对的圆周角相等。”共两句话互为逆命题组成圆周角定理推论2。这样就跟前面的也互为逆命题的两句话（半圆（或直径）所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。）组成的圆周角定理推论1并列组成圆周角定理的两个推论。
2015年6月22日至7月3日，去杭州师范大学参加了2015年中小学（幼儿园）教师省级培训——与编写者对话：初中数学浙教版教材解读与教学研究专题集中培训。在培训期间我做了题为《注重细节，且教且反思》的公开讲座，以上的内容就是讲座两个部分中的一部分，名为《我谈浙教版教材——把教材当“反面教材”》，并且私下与浙教版数学编委王亚权老师交流，得到他的肯定和赞许，培训结业后获得了“优秀学员”的称号。
现在我教的学生是在2015年9月份招入的，也就是在我参加90学时省级培训后招入的学生，这届学生有幸成为我的疑惑得到肯定后的第一批见证者。这个疑惑就是本文提到的我对浙教版圆周角定理推论2编写的斗胆怀疑和改进，在杭州培训期间提出后得到与会同仁老师们的肯定和好评，还有专家的首肯。这也就是篇首我讲的更有底气和更有说服力的原由。希望像王亚权老师说的那样，在以后改版时能看到教材内容的改进。
2017年10月7日
（以上图片就是2015年参加省级培训时我作的讲座《注重细节，且教且反思》的一部分PPT，文章内容由当时讲座内容整理而来，时间过去超两年了，这次由于又教到圆周角定理推论2有感而发，趁这个国庆中秋假期凭零星的记忆和当时留存的PPT按数学逻辑推演而成。2017年10月8日本文被《简书》"想法"专栏和"温州"专栏同时收录。讲座另一部分内容按以下链接！）
