1.4 向量

1.5、向量

一、平面向量

1、向量基础知识

向量概念：在数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量。
判断一个量是否为向量，可看该量是否有大小，是否有方向。
向量与数量区别：数量只有大小，没有方向，可以比较大小；向量既有大小，又有方向，且向量之间不能比较大小；但向量的模表示长度，可以比较大小。
向量的表示方法
①有向线段，记作： $\vec {AB}$ ②几何方法 ③字母表示法，如： $\vec a$ ④坐标表示法，记作a=(x,y)
向量的模
向量 $\vec {AB}$ 的大小，也就是有向线段 $\vec {AB}$ 的长度，记作| $\vec {AB}$ |;
$\vec {AB}$ 的取值范围为[0,+∞]
向量不能比较大小，但向量的模式数量，能比较大小。
向量相关概念
①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作 $\vec 0$ ，零向量与任一向量平行
②单位向量：长度为1个单位长度的向量
③相等向量：长度相等且方向相同的向量
④平行向量：方向相同或相反的非零向量
平行向量与相等向量之间关系
①平行向量值要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在直线重合或平行
②平行向量要求两个向量为非零向量。相等向量没有这个限制，零向量等于零向量
③借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量
④平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量
⑤自由向量：一个向量只要不改变它的大小和方向，它的起点和终点可以随意平行移动的向量。高中阶段学习的就是自由向量。

2、向量的加法

向量的加法是指两个向量和的运算。和向量仍然是向量，大小和方向与原向量有关。
向量加法的三角形法则
向量平移，使得一个向量 $\vec a$ 的终点为另一个向量 $\vec b$ 的起点，即两个向量首尾相连。作和向量，要求从向量 $\vec a$ 的起点指向向量 $\vec b$ 的终点。
向量加法的平行四边形法则
两向量平移到同一个起点，以两个向量为邻边做平行四边形，共同的起点作为向量起点，对角线的另一个端点作为向量的终点。两向量共线时，平行四边形法则不适用。
需要说明几点：

①当两个非零向量 $\vec a$ 与 $\vec b$ 不共线时
$\vec a$ + $\vec b$ 的方向与 $\vec a$ ， $\vec b$ 的方向都不同，且| $\vec a$ + $\vec b$ |<| $\vec a$ |+| $\vec b$ |
②当两个非零向量 $\vec a$ 与 $\vec b$ 共线时
向量 $\vec a$ 与 $\vec b$ 同向,则| $\vec a$ + $\vec b$ |=| $\vec a$ |+| $\vec b$ |
向量 $\vec a$ 与 $\vec b$ 反向，且向量| $\vec a$ |<| $\vec b$ |,此时，向量 $\vec a$ + $\vec b$ 与向量 $\vec b$ 同向，所以，| $\vec a$ + $\vec b$ |=| $\vec b$ |-| $\vec a$ |
综上可知：|| $\vec b$ |-| $\vec a$ ||≤| $\vec a$ + $\vec b$ |≤| $\vec a$ |+| $\vec b$ |

向量的加法适用加法的交换律和结合律

3、向量的减法

相反向量
与 $\vec a$ 长度相等方向相反的向量，叫做a的相反向量记作- $\vec a$
零向量的相反向量仍是零向量
任一向量与和它相反向量的和是零向量
向量减法
向量 $\vec a$ - $\vec b$ 等于向量 $\vec a$ 加上 $\vec b$ 的相反向量- $\vec b$ ，即 $\vec a$ - $\vec b$ = $\vec a$ +(- $\vec b$ )
*向量减法的作图法
参考向量加法的三角形法则和平行四边形法则

4、向量的数乘

概念：我们规定实数 $\lambda$ 与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 $\lambda$ a，它的长度与方向规定如下：
①| $\lambda$ a| = | $\lambda$ | |a|
②当 $\lambda$ >0时， $\lambda$ a的方向与a的方向相同
当 $\lambda$ <0时， $\lambda$ a的方向与a的方向相反
当 $\lambda$ =0时， $\lambda$ a=0
向量数乘满足结合律和分配律
向量数乘几何意义
把向量 $\vec a$ 扩大或缩小，同时也可以将 $\vec a$ 改变方向，也可以不改变方向，取决于 $\lambda$ 的大小和正负。
实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，加减运算无意义

4、向量共线平行的条件

如果非零向量 $\vec a$ 与 $\vec b$ 共线，当且仅当有一个实数 $\lambda$ ，使b= $\lambda$ a。共有两层含义
①对于向量 $\vec a$ ( $\vec a$ ≠0)， $\vec b$ ，如果有一个实数 $\lambda$ ，使b= $\lambda$ a，那么向量 $\vec a$ 与 $\vec b$ 共线；
②反过来，已知 $\vec a$ 与 $\vec b$ 共线，就一定满足b= $\lambda$ a，具体大小和方向与 $\lambda$ 取值有关

5、平面向量的基本定理

如果 $\vec e_1$ , $\vec e_2$ 是同一平面内的不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 $\vec a$ ,有且只有一对实数 $\lambda _1$ , $\lambda _2$ ,使得a= $\lambda _1\vec e_1$ + $\lambda _2\vec e_2$ 。我们把不共线的向量 $\vec e_1$ , $\vec e_2$ ，叫做表示这个平面内所有向量的一组基底。

6、平面向量的正交分解和坐标表示

正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
坐标表示
把直角坐标系中的一个向量分解到坐标轴的x轴和y轴上，用坐标来表示向量的方法。分解后 $\vec a$ =(x,y)

7、平面向量的坐标运算

加法运算
若 $\vec a$ = ( $x_1,y_1$ ), $\vec b$ = ( $x_2,y_2$ ),则 $\vec a$ + $\vec b$ =( $x_1+x_2,y_1+y_2$ )
即两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
减法运算
若 $\vec a$ = ( $x_1,y_1$ ), $\vec b$ = ( $x_2,y_2$ ),则 $\vec a$ - $\vec b$ =( $x_1-x_2,y_1-y_2$ )
即两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
数乘运算
若 $\vec a$ = ( $x_1,y_1$ )，则则 $\lambda \vec a$ =( $\lambda x_1,\lambda y_1$ )
即实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
向量坐标的求法
若 $\vec A$ ( $x_1,y_1$ ), $\vec B$ ( $x_2,y_2$ ),则 $\vec {AB}$ =( $x_1-x_2,y_1-y_2$ )
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

通过平面直角坐标系表示向量，可以把向量化为有序实数对，从而将向量的几何问题转化为坐标的数形结合，从而使几何问题转化为代数问题，进行代数的运算即可解决向量的运算问题。

7、平面向量共线的坐标表示

设 $\vec a$ = ( $x_1,y_1$ ), $\vec b$ = ( $x_2,y_2$ ),其中 $\vec b$ ≠0，此时
若 $\vec a$ 与 $\vec b$ 共线，则 $x_1y_2-x_2y_1=0$
反之，若 $x_1y_2-x_2y_1=0$ ，则 $\vec a$ 与 $\vec b$ 共线

8、平面向量共线的数量积

平面向量的数量积的定义
①向量的夹角
已知两个非零向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ ，若 $\vec {OA}=\vec a$ , $\vec {OB}=\vec b$ ,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的夹角。
当θ=90°时，即 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的夹角是90°，我们说 $\vec a$ 与 $\vec b$ 垂直，记作 $\vec a$ ⊥ $\vec b$
当θ=0°时，即 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的夹角是0°，我们说 $\vec a$ 与 $\vec b$ 垂共线，且同向
当θ=180°时，即 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的夹角是180°，我们说 $\vec a$ 与 $\vec b$ 共线，且反向
向量的数量积
已知两个非零向量 $\vec a$ 与 $\vec b$ ，θ为 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的夹角，我们把数量| $\vec a$ | | $\vec b$ |cosθ叫做 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的数量积，记作 $\vec a$ . $\vec b$ ，即 $\vec a$ . $\vec b$ =| $\vec a$ | | $\vec b$ |cosθ

两向量的数量积，其结果为数量，而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定。

在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是[0°，180°]

在书写两个向量的数量积时，中间的点不能省略不写，比如 $\vec a$ $\vec b$ 这种写法是错误的。

向量的投影
数量积 $\vec a$ . $\vec b$ 等于 $\vec a$ 的长度| $\vec a$ |与 $\vec b$ 在 $\vec a$ 的方向上的投影| $\vec b$ |cosθ的乘积。

9、平面向量数量积的重要性质

设 $\vec a$ 、 $\vec b$ 都是非零向量， $\vec e$ 是与 $\vec b$ 方向相同的单位向量，θ是 $\vec a$ 与 $\vec e$ 的夹角， $\vec a$ = ( $x_1,y_1$ ), $\vec b$ = ( $x_2,y_2$ ),则
① $\vec e$ . $\vec a$ = $\vec a$ . $\vec e$ =| $\vec a$ |cosθ
② $\vec a$ ⊥ $\vec b$ ⇔ $\vec a$ . $\vec b$ = 0
③当 $\vec a$ 与 $\vec b$ 同向时， $\vec a$ . $\vec b$ =| $\vec a$ | | $\vec b$ |；当 $\vec a$ 与 $\vec b$ 反向时， $\vec a$ . $\vec b$ =-| $\vec a$ | | $\vec b$ |
④ $\vec a$ . $\vec a$ = $|\vec a|^2$ , $|\vec a|$ = $\sqrt {\vec a.\vec a}$ = $\sqrt {x_1^2+y_1^2}$
⑤cosθ = $\frac{\vec a.\vec b}{|\vec a|.|\vec b|}$ = $\frac{x_1x_2+y_1y_2} {{\sqrt {x_1^2+y_1^2}.\sqrt {x_2^2+y_2^2}}}$
⑥| $\vec a$ . $\vec b$ |≤| $\vec a$ |.| $\vec b$ |

10、平面向量数量积的坐标表示

设i，j为x轴、y轴上的单位向量，即i=(1,0),j=(0,1),且 $\vec a$ 、 $\vec b$ 为两个非零向量， $\vec a$ = ( $x_1,y_1$ ), $\vec b$ = ( $x_2,y_2$ ),求i.i=1,j.j=1，i.j=j.i=0,由有 $\vec a$ . $\vec b$ =( $x_1i+y_1j$ ).( $x_2i+y_2j$ )= $x_1x_2j^2+x_1y_2i.j+x_2y_1i.j+y_1y_2j^2=x_1x_2+y_1y_2$
也就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

二、空间向量

1、空间向量及其加法与数乘运算

概念
在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量。
相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量；
零向量：长度为0的向量
单位向量：模为1的向量
向量加法的几个重要结论
①和向量的模满足
|| $\vec b$ |-| $\vec a$ ||≤| $\vec a$ + $\vec b$ |≤| $\vec a$ |+| $\vec b$ |
当 $\vec a$ ， $\vec b$ 同向时，右等号成立
当 $\vec a$ ， $\vec b$ 反向时，左等号成立
当 $\vec a$ ， $\vec b$ 中有零向量时，两等号同时成立
当 $\vec a$ ， $\vec b$ 不共线时，等号都不成立，此时上式的几何意义是三角形任意一边小于另两边之和，大于另两边之差。
②几个向量相加，可通过平移将它们转化为首尾相连的向量
即 $\vec {MN}$ = $\vec {MA}$ + $\vec {AB}$ + $\vec {BC}$ + $\vec {CD}$ + $\vec {DN}$
③首尾相连的若干个向量构成一个封闭图形，则它们的和为0

2、共线向量和共面向量

共线向量
①定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则称这些向量为共线向量或平行向量， $\vec a$ 平行于 $\vec b$ ，记作 $\vec a$ // $\vec b$
②共线向量定理
对空间任意两个向量 $\vec a$ , $\vec a$ ( $\vec a$ ≠0)， $\vec a$ // $\vec b$ 的充要条件是存在唯一实数λ，使 $\vec a$ =λ $\vec b$
③推论：如果l为经过已知点A且平行于已知向量 $\vec a$ 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式： $\vec {OP}$ = $\vec {OA}$ +t $\vec a$ ,其中向量 $\vec a$ 叫做直线l的方向向量。
共面向量
①定义：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
②共面向量定理：如果两个向量 $\vec a$ , $\vec b$ 不共线，则向量 $\vec p$ 与向量 $\vec a$ , $\vec b$ 共面的充要条件是存在唯一的一对一实数x，y，使 $\vec p$ =x $\vec a$ ,+y $\vec b$
③推论1：空间中的一点p位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使 $\vec {OP}$ =x $\vec {MA}$ +y $\vec {MB}$ ；或空间内任一点O，有 $\vec {OP}$ = $\vec {OM}$ +x $\vec {MA}$ +y $\vec {MB}$
④推论2：空间中的一点P与不共线的三点A、B、C共面的充要条件是存在唯一的有序实数组(x,y,z)使 $\vec {OP}$ =x $\vec {OA}$ +y $\vec {OB}$ ,+z $\vec {OC}$ 且x+y+z=1（其中O为空间任一点）
⑤如果三个不共面的向量 $\vec a$ ， $\vec b$ ， $\vec c$ 满足等式 $k_1 \vec a$ + $k_2 \vec b$ + $k_3 \vec c$ =0,那么 $k_1=k_2=k_3$

3、空间向量的基本定理

空间向量的基本定理
如果三个向量 $\vec a$ ， $\vec b$ ， $\vec c$ 不共面，那么对空间任一向量 $\vec p$ 存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=x $\vec a$ +y $\vec b$ +z $\vec c$ ,其中{ $\vec a$ ， $\vec b$ ， $\vec c$ }叫做空间的一个基底， $\vec a$ ， $\vec b$ ， $\vec c$ 为基向量。
推论
设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序是数组x,y,z，使 $\vec {0P}$ p=x $\vec {OA}$ +y $\vec {OB}$ +z $\vec {OC}$

4、空间向量的数量积

夹角的定义
已知两个非零向量 $\vec a$ ， $\vec b$ ，在空间任取一点o，做 $\vec {OA}$ = $\vec a$ , $\vec {OB}$ = $\vec b$ ,则∠AOB叫做向量 $\vec a$ ， $\vec b$ 的夹角，记作< $\vec a$ ， $\vec b$ >
夹角的范围
空间任意两个向量的夹角的取值范围是0≤< $\vec a$ ， $\vec b$ >≤π
当< $\vec a$ ， $\vec b$ >=0时，两向量同向共线
当< $\vec a$ ， $\vec b$ >=π时，两向量反向共线
当< $\vec a$ ， $\vec b$ >= $\frac{π} {2}$ 时，两向量垂直，记作 $\vec a$ ⊥ $\vec b$
所以，若 $\vec a$ ， $\vec b$ 共线或平行，则< $\vec a$ ， $\vec b$ >=0或< $\vec a$ ， $\vec b$ >=π。
向量的数量积
已知空间两向量 $\vec a$ ， $\vec b$ ，则| $\vec a$ . $\vec b$ = $\vec a$ || $\vec b$ |.cos< $\vec a$ ， $\vec b$ >
向量数量积的性质
① $\vec a$ . $\vec a$ = $|\vec a |^2$ ,向量自身的数量积就是本身模的平方
② $\vec a$ . $\vec b$ =的充要条件是 $\vec a$ ⊥ $\vec b$
③两个非零向量 $\vec a$ ， $\vec b$ 的夹角可由 $\vec a$ ， $\vec b$ 的数量积表示
cos< $\vec a$ ， $\vec b$ > = $\frac{\vec a.\vec b}{|\vec a|.|\vec b|}$
④对任意向量 $\vec a$ ， $\vec b$ ，总有| $\vec a$ . $\vec b$ |≤| $\vec a$ |.| $\vec b$ |，并且只有当 $\vec a$ // $\vec b$ 时，等号成立。

5、空间直角坐标系

单位正交基底
若空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用{i,j,k}
空间直角坐标系的建立
在空间中选取一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-XYZ,点O为原点，i，j，k都叫做坐标向量。
空间直角坐标系的画法
做空间直角坐标系O-xyz，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°
向量的坐标表示
给定一个空间直角坐标系和向量 $\vec a$ ，且设 $\vec i$ ， $\vec j$ ， $\vec k$ 为坐标向量，由空间向量基本定理知，存在唯一的有序是数组( $a_1,a_2,a_3$ ),使a= $a_1 \vec i$ + $a_2 \vec j$ + $a_3 \vec k$ ,有序实数组( $a_1,a_2,a_3$ )叫做向量 $\vec a$ 在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，即 $\vec a$ =( $a_1,a_2,a_3$ ).设A是空间任一点， $\vec {OA}$ = $x \vec i$ + $y \vec j$ + $z \vec k$ ,则称（x，y，z）称为点A的空间直角坐标。

6、空间向量的坐标运算

空间向量的坐标
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这两个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，即若A( $x_1,y_1,z_1$ ),B( $x_2,y_2,z_2$ )
则 $\vec {AB}$ = $\vec {OB}-\vec {OA}$ =( $x_2,y_2,z_2$ )-( $x_1,y_1,z_1$ ) = ( $x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1$ )
空间向量的坐标运算
设 $\vec a$ =( $x_1,y_1,z_1$ )， $\vec b$ =( $x_2,y_2,z_2$ )则
①| $\vec a$ |= $\sqrt {x_1^2+y_1^2+z_1^2}$
② $\vec a$ + $\vec b$ = ( $x_2+x_1,y_2+y_1,z_2+z_1$ )
③ $\vec a$ + $\vec b$ = ( $x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1$ )
④λ $\vec a$ = A( $λx_1,λy_1,λz_1$ )
⑤ $\vec a$ . $\vec b$ = $x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
空间向量平行（共线）的充要条件
设 $\vec a$ =( $x_1,y_1,z_1$ )， $\vec b$ =( $x_2,y_2,z_2$ )则
$\vec a$ // $\vec b$ ⇔ $x_1$ =λ $x_2$ , $y_1$ =λ $y_2$ , $z_1$ =λ $z_2$
空间向量垂直的充要条件
设 $\vec a$ =( $x_1,y_1,z_1$ )， $\vec b$ =( $x_2,y_2,z_2$ )则
$\vec a$ ⊥ $\vec b$ ⇔ $\vec a$ . $\vec b$ =0⇔ $x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ =0

7、平面的法向量

已知平面α，直线l⊥α，去l的方向向量a，有a⊥α，则称a为平面α的法向量。
已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取篇平面的一个法向量。
一般地，由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可归纳出如下结论：
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则：
l//m⇔a//b⇔a=kb,k∈R
l⊥m⇔a⊥b⇔a.b=0
l//α⇔a⊥u⇔a.u=0
l⊥α⇔a//u⇔a=ku,k∈R
α//β⇔u//v⇔u=kv,k∈R
α⊥β⇔u⊥v⇔u.v=0

8、用向量方法判定空间中的平行关系

空间中的平行关系是指：线线平行，线面平行，面面平行。

线线平行
设直线 $l_1,l_2$ 的方向向量分别是 $\vec a$ , $\vec b$ ,则要证明 $l_1//l_2$ ，只需证明 $\vec a$ // $\vec b$ ，即 $\vec a$ =k $\vec b$ (k∈R)
线面平行
①设直线l的方向向量为 $\vec a$ ，平面α的法向量为 $\vec u$ ，则只需证明 $\vec a$ ⊥ $\vec u$ ，即 $\vec a$ . $\vec u$ =0
②根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以再平面内找一个向量与已知直线的方向向量时共线向量。
③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行。因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。
面面平行
①由面面平行的判定定理知，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行，线线平行即可。
②若能求出平面α，β的法向量 $\vec u，\vec v$ ，则要证明α//β，只需证明 $\vec u$ // $\vec v$

9、用向量方法判定空间中的垂直关系

空间中的垂直关系主要是指：线线垂直，线面垂直，面面垂直

线线垂直
设直线 $l_1，l_2$ 的方向向量分别为 $\vec a，\vec b$ ，只需证 $\vec a⊥\vec b$ ，即 $\vec a.\vec b$ =0
线面垂直
①设直线l的方向向量是 $\vec a$ ,平面α的法向量是 $\vec u$ ，则要证l⊥α，只需证 $\vec a$ // $\vec u$
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直
面面垂直
根据面面垂直的判定定理转化为线面垂直和线线垂直；怎么两个平面的法向量垂直

10、利用向量求空间角

求异面直线所成的角
求直线和平面所成的角
求二面角

11、利用向量求空间距离

空间中的距离有：点与点的距离、点到线的距离、点到面的距离、线与线的距离、线与面的距离、面与面的距离。

点面距离的求法
两异面直线距离的求法
空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距、其中点点距、点线距最终都可以用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解。

12、求平面法向量的方法与步骤

①选向量：选取两相交向量 $\vec{AC}$ 、 $\vec{AB}$
②设坐标：设平面法向量的坐标为 $\vec n$ =(x,y,z)
③解方程：解方程 $\vec n$ . $\vec{AC}$ =0, $\vec n$ . $\vec{AB}$ =0
④定结论：求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为非零常数，而得到其它坐标。