Exersice_10: Exploration to Inverse-Square Law

椭圆_beta_2.5.png

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Abstract

万有引力定律被普遍认为与两个物体之间的距离平方的反比有关，从1687年牛顿的总结到如今，平方反比定律经过无数次的检验，依然保持着高度的准确性。本文将以星体运动为背景粗略探讨平方反比律。

宇宙中每个质点都以一种力吸引其他各个质点。这种力与各质点的质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。
Every particle in the universe attracts every other particle with a force that is directly proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square of the distance between them.
<center> ——艾萨克·牛顿，《自然哲学的数学原理》</center>

Background

太阳系是被太阳的引力系结在一起的系统，包括轨道直接或间接绕行它的天体。轨道环绕太阳的天体被分为三类：行星、矮行星、和太阳系小天体。太阳系中的各星体在万有引力的作用下，形成各自形状，运行轨道相对稳定的状态。

平方反比律，即万有引力定律：
$$F = G \frac{m_1m_2}{r^2}$$
$G = (6.67408 \pm 0.00031)\times 10^{-11}m3/(kg\cdot s^2)$

在两个物体之间的距离远大于物体的几何尺寸时，物体可以近似看作质点，这个公式才是适用的。

当我们让$$F = G \frac{m_1m_2}{r^{\beta}}$$
中的 $\beta$ 不等于$2$时，有趣的事发生了。

Fist Things First: Draw A Planetary Orbit

Pure Code

在物体运动轨迹呈周期性时，不应使用欧拉法直接计算运动轨迹，而是采用Euler-Cromer method 进行 Numerical Computation。

<center>Pseudocode for Planet Orbit Calc</center>

$F_{G,x}=-\frac{GM_SM_E}{r^{{\beta}}cos\theta=-\frac{GM_SM_Ex}{r}{\beta+1}}$

At each time step $i$ calculate the position$(x,y)$ and velocity $(v_x,v_y)$ for time step $i+1$.

Calc the distance $r_i$ from the sun:$r_i=(x^2_i+y2_x)^{1/2}$

Compute $v_{x,i+1}=v_{x,i}-\frac{4\pi x_i}{r^{\beta+1}i}\Delta t$ and $v{y,i+1}=v_{y,i}-\frac{4\pi y_i}{r^{\beta+1}_i}\Delta t$

The Euler-Cromer step:$x_{i+1}=x_i+v_{x,i+1}\Delta t$, $y_{i+1}=y_i+v_{y,i+1}\Delta t$
Repeat...

类型	天文单位AU	换算
距离	AU	$1 AU \approx 1.5 \times 10^{11}m$
时间	year(yr)	$1 yr=3156000 s$
质量组合常数	组合常数	$GM_S=v^2r=4\pi2AU^3/yr2$

注意，在太阳系中由于星体本身质量巨大，距离远，轨道周期长，使用国际单位制显然不合适，于是我们使用天文单位：

类型	天文单位AU	换算
距离	AU	$1 AU \approx 1.5 \times 10^{11}m$
时间	year(yr)	$1 yr=3156000 s$
质量组合常数	组合常数	$GM_S=v^2r=4\pi2AU^3/yr2$

可以由计算得到：当$v_{x,0}=0,v_{y,0}=2\pi(AU/yr)$时，行星运动轨迹是一个标准圆。实际中八大行星的运动轨迹都不是标准的圆，水星(Mercury)的离心率甚至达到了0.206左右。地球的离心率约为0.017。~~还是挺圆的。~~

那么我们可以通过改变初速度$v_0$的方式使行星运动轨迹接近真实情况。

Who Changes the $\beta$ ?

平方反比律.png

不同$\beta$值下，椭圆行星轨迹的变化，注意$\beta=3$时，可怜的行星被巨大的万有引力拉向了太阳，在质点模型下这个小可怜在被拉向中心后会被笔直地甩开，呈几乎匀速直线运动远离中心。

上图使用$\Delta t = 0.001 (yr),Total time=2,2,1,3,0.263(approximate)(yr)$绘制多周期轨迹。从子图1中看一看出即使$\beta=2$，轨迹在远离近日点/远日点处抖动也十分严重。于是我们进一步作死缩小时间步长。

[]

于是将$\Delta t$ 缩小至$ 0.001 (yr)$，却带来了计算量暴增的问题。为此引入numba库对运算函数进行编译和硬件优化，以减少运算时间：

from numba import jit
# Exercise 4.9
#使用@jit让函数在运行前被编译，有利于加速运算，
@jit
def cruisingx(beta,total_time,initvy):
    initx = 1
    inity = 0
    ...
@jit
def cruisingy(beta,total_time,initvy):
...

total_time = 100
no @jit: @6.209s taken for {drawpic},
using @jit: @0.975s taken for {drawpic}