Summary of Curve Sketching

每种图像，都有它的特征，下面大体可以理解成：

Guidelines for Sketching a Curve 曲线草图指南

大体可以根据对应的清单。

• （A）Domain， 定义域
  • 注意范围和特殊情况
• （B）Intercepts， 截距
  • 注意x=0，和y=0 的两条线，和对应的值
• （C）Symmetry， 对称
  • 奇函数
  • 偶函数
  • 周期函数
• （D）Asymptotes， 渐近线
  • Horizontal Asymptotes 横向渐近线
  • Vertical Asymptotes 纵向渐近线
  • Slant Asymptotes 偏渐近线
• （E）Intervals of Increase or Decrease， 区间递增，递减
  • 注意 f' ，对应的导数的正负
• （F）Local Maximum and Minimum Values， 局部最大值，最小值
  • 注意 critical numbers 临界点 （f'(x) =0, 或者 不存在）
    • 如果 在临界点c上 f'(x) 先正再负， 则有 最大值
    • 如果 在临界点c上 f'(x) 先负再正， 则有 最小值
  • 特别注意：在点c的一阶求导 = 0， 二阶求导 >0, 或者 <0 的情况
    • 在临界点c上 f''(x) > 0 ， 有局部最小值
    • 在临界点c上 f''(x) < 0 ， 有局部最大值
• （G）Concavity and Points of Inflection， 凹度 和 拐点
  • 如果一个区间一直 f''(x) > 0 ， 则图像 凹向上
  • 如果一个区间一直 f''(x) < 0 ， 则图像 凹向下
• （H）Sketch the Curve， 画曲线
  • 注意上面提到的所有点和情况

例子：

对应的例子比较多，就过一下，熟悉一下：

例子1

• （A）Domain， 定义域

• （B）Intercepts， 截距
  x和y的截距都为0

• （C）Symmetry， 对称

  • 由 f(-x) = f(x)， 知道是 偶函数， 关于y轴对称

• （D）Asymptotes， 渐近线

  
  
  • 可以知道，有 水平渐近线 y = 2

• （E）Intervals of Increase or Decrease， 区间递增，递减

  
  
  • 我们可以知道， 分母永远 > 0， 所以 在x!=+-1的时候，
  • (-∞, -1) 和 (-1, 0) 分别递增
  • (0，1) 和 (1, +∞) 分别递减

• （F）Local Maximum and Minimum Values， 局部最大值，最小值

  • 有上面的导数结果，容易看出，只有 f(0) 这一个临界点
  • 并且， 拐点的导数值 是 从正到负， 所有 有局部最大值

• （G）Concavity and Points of Inflection， 凹度 和 拐点

  • 求对应的二阶导数

    
    
  • 知道当 12x^2 + 4 > 0， 也就是 f''(x) >0, 对应的 x的范围为 | x | > 1
  • 可以得到，(-∞, -1)和(1, +∞)凹向上
  • 剩下的， (-1, 1) 凹向上

• （H）Sketch the Curve， 画曲线

  • 通过前面的 A - D， 可以画出 Figure 8 的图像
  • 在Figure 8 的图像的基础上， 通过后面的 E - G， 可以画出 Figure 9 的图像

Slant Asymptotes 偏渐近线

其实，上面（D）Asymptotes， 渐近线 的第3个，也提到了
Slant Asymptotes 偏渐近线
这里我们给出定义：

大致图像为：

也就是， 对应的 x->∞ 的时候， 对应的f(x) 近似等于 mx+b
这里 y = mx+b 就叫做 Slant Asymptotes 偏渐近线

例子：

• （A）Domain， 定义域
  • 定义域为R， (-∞, +∞)
• （B）Intercepts， 截距
  • 截距都是0
• （C）Symmetry， 对称
  • 由 f(-x) = - f(x)， 知道是 奇函数， 关于原点对称

• （D）Asymptotes， 渐近线

  
  
  • 通过计算，我们可以知道，是 Slant Asymptotes 偏渐近线
  • 对应的 偏渐近线的方程为 y = x

• （E）Intervals of Increase or Decrease， 区间递增，递减

  
  
  • 根据图像，我们可以知道对应的 f'(x)>0， 所以，在R上递增
• （F）Local Maximum and Minimum Values， 局部最大值，最小值
  • 虽然 f'(0) = 0， 但是， 没有改变符号，所以 没有最大值和最小值

• （G）Concavity and Points of Inflection， 凹度 和 拐点

  
  
  • 通过结果，我们可以知道，x=0 和 x= +-根号3 可以使得 f''(x)为0

  • 通过下面的图表，我们可以知道对应的 凹向上CU， 凹向下CD

    
    

• （H）Sketch the Curve， 画曲线