1.PLA

重新回顾一下一开始学的PLA，preceptron learning Algorithm。PLA适用于二维及高维的线性可分的情况，如果是非线性可分的数据，如果使用PLA可能会无限循环。问题的答案只有同意或不同意：

PLA要做的其实就找到一个x映射到y的f，使得这个f和数据的分布一致，判断结果一致。
如果是遇到了线性不可分的情况，就不能再要求完全正确了，所以在optimization的时候会要求只需要找到最少错误的分类就可以了，不再要求完全正确的分类。

2.Combine some PLA

把PLA按照aggregation model的想法结合起来：

3.Neural Network

之前已经介绍过三种线性模型：linear classification，linear regression，logistic regression。那么，对于OUTPUT层的分数s，根据具体问题，可以选择最合适的线性模型。如果是binary classification问题，可以选择linear classification模型；如果是linear regression问题，可以选择linear regression模型；如果是soft classification问题，则可以选择logistic regression模型。
如果根据上面的模型，每一层都是wx，那么无论多少层叠加起来都是www....x而已，都是线性的，所以我们要在每一层结束的时候加上一个activity function。对于激活函数的选择有很多，sigmoid，relu，tanh等。sigmoid函数由于会出现梯度消失的现象，所以现在已经很少用了，relu函数是比较常用的。这里会使用tanh函数：

4.Optimization and Regularization

最终的目标还是要Ein最小，采用什么error function只需要在推导上修正一下就好了。

5.代码实现

首先是生成数据，使用的是sklearn的make_moon：

def generator():
    np.random.seed(0)
    x, y = dataTool.make_moons(200, noise=0.2)
    plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], s = 40, c = y, cmap=plt.cm.Spectral)
    plt.show()
    return x, y
    pass

这是我们生成数据的分布，可以看到线性分类器是无法区分开的。
然后就是网络生成训练的主要部分了：

class Network(object):
    def __init__(self, x, y):
        '''initialize the data'''
        self.x = x
        self.num_examples = len(x)
        self.y = y
        self.n_output = 2
        self.n_input = 2
        self.epsilon = 0.01
        self.reg_lambed = 0.01
        self.model = None
        pass

初始化数据。

    def calculate_loss(self, model):
        '''calculate the loss function'''
        w1, b1, w2, b2 = model['w1'], model['b1'], model['w2'], model['b2']
        z1 = self.x.dot(w1) + b1
        a1 = np.tanh(z1)
        z2 = a1.dot(w2) + b2
        exp_scores = np.exp(z2)
        probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)
        corect_logprobs = -np.log(probs[range(self.num_examples), self.y])
        data_loss = np.sum(corect_logprobs)
        data_loss += self.reg_lambed / 2 * (np.sum(np.square(w1)) + np.sum(np.square(w2)))
        return 1.0/self.num_examples * data_loss

计算损失函数，最后使用的是softmax分类器，损失函数使用的是交叉熵：

在加上regularization即可。

    def predict(self, x):
        '''according to the model,predict the consequence'''
        w1, b1, w2, b2 = self.model['w1'], self.model['b1'], self.model['w2'], self.model['b2']
        z1 = x.dot(w1) + b1
        a1 = np.tanh(z1)
        z2 = a1.dot(w2) + b2
        exp_scores = np.exp(z2)
        probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)
        return np.argmax(probs, axis=1)
        pass

预测，常规操作。

    def build_Network(self, n_hinden, num_pass = 20000, print_loss = True):
        loss = []
        np.random.seed(0)
        w1 = np.random.randn(self.n_input, n_hinden) / np.sqrt(self.n_input)
        b1 = np.zeros((1, n_hinden))
        w2 = np.random.randn(n_hinden, self.n_output) / np.sqrt(n_hinden)
        b2 = np.zeros((1, self.n_output))

        self.model = {}
        for i in range(num_pass):
            z1 = self.x.dot(w1) + b1
            a1 = np.tanh(z1)
            z2 = a1.dot(w2) + b2
            exp_scores = np.exp(z2)
            probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)

            delta3 = probs
            delta3[range(self.num_examples), self.y] -= 1
            dw2 = (a1.T).dot(delta3)
            db2 = np.sum(delta3, axis=0, keepdims=True)
            delta2 = delta3.dot(w2.T)*(1 - np.power(a1, 2))
            dw1 = np.dot(self.x.T, delta2)
            db1 = np.sum(delta2, axis=0)
            dw2 += self.reg_lambed * w2
            dw1 += self.reg_lambed * w1

            w1 += -self.epsilon * dw1
            b1 += -self.epsilon * db1
            w2 += -self.epsilon * dw2
            b2 += -self.epsilon * db2

            self.model = {'w1':w1, 'b1':b1, 'w2':w2, 'b2':b2}
            if print_loss and i %200 == 0:
                print('Loss : ', (i, self.calculate_loss(model=self.model)))
                loss.append(self.calculate_loss(model=self.model))
        return loss

有使用的是softmax损失函数，对于softmax函数求导之后就是原函数-1，求w2梯度，对w2求导就只有a2了，根据刚刚的公式：

可以求出delta2，最后一次更新即可。

if __name__ == '__main__':
    Accuracy = []
    losses = []
    x, y = Tool.generator()
    for i in range(1, 13):
        mlp = Network(x, y)
        loss = mlp.build_Network(n_hinden=i)
        losses.append(loss)
        Tool.plot_decision_boundary(mlp.predict, x, y, 'Neutral Network when Hidden layer size is ' + str(i))
        predicstions = mlp.predict(x)
        a = sum(1*(predicstions == y)) / len(y)
        Accuracy.append(a)

    '''draw the accuracy picture'''
    plt.plot(range(len(Accuracy)), Accuracy, c = 'blue')
    plt.title('The Accuracy of the Neural Network')
    plt.xlabel('Hinden Layer Size')
    plt.ylabel('Accuracy')
    plt.show()


    '''draw the loss function picture'''
    for i, loss in enumerate(losses):
        plt.plot(range(len(loss)), loss, c = Tool.get_colors(i), label = 'the hindden layer size '+str(i))
    plt.title('Loss Function')
    plt.xlabel('time')
    plt.ylabel('loss score')
    plt.legend()
    plt.show()

主要的运行函数。
还需要看一个画图函数：

def plot_decision_boundary(pred_func, X, y, title):
    # Set min and max values and give it some padding
    x_min, x_max = X[:, 0].min() - .5, X[:, 0].max() + .5
    y_min, y_max = X[:, 1].min() - .5, X[:, 1].max() + .5
    h = 0.01
    # Generate a grid of points with distance h between them
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h))
    # Predict the function value for the whole gid
    Z = pred_func(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
    Z = Z.reshape(xx.shape)
    # Plot the contour and training examples
    plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Spectral)
    plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Spectral)
    plt.title(title)
    plt.show()

接下来运行一下看效果吧（有些颜色的代码不全，GitHub上有）：

接下来的效果应该都是类似的了。
随着神经元数量的增加：

符上所以GitHub代码：
https://github.com/GreenArrow2017/MachineLearning/tree/master/MachineLearning/NeuralNetwork