2.17 有限势阱束缚态 Finite square well bound states

https://www.youtube.com/watch?v=EYhpz1D4C7E&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=30

前言

这一节我们来讲一下有限势阱的束缚态

1. 势能图像与波函数图像

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波函数 $-\frac{\hbar \partial^2}{2m\partial x^2} \psi + V(x) \psi = E \psi$

下面根据上图三个区域解波函数通解：

$x<-a$ ，此时E<V。
$\partial_{xx} \psi = (+) \psi，\partial_{xx}表示二次导数大于0，因为E - V <0,而动能前面有一个负号，负负得正$

$\partial_{xx} \psi = k^2 \psi,其中k=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar},根号下E<0$
这样可以得到通解如下：

$\psi(x) = A e^{-kx} + B e^{kx}$
根据波函数的归一化条件，A=0，(因为随着x减小 $A e^{-kx}$ 趋近于无限大)。
所以此时通解如下：
$\psi(x) =B e^{kx}$
$-a<x<a$ ,此时E>V，令 $V(x)=-V_0$

$\partial_{xx} \psi = (-) \psi，\partial_{xx}表示二次导数小于0，因为E - V >0,动能前面有一个负号，正负得负。$
$\partial_{xx} \psi = -l^2 \psi,其中l^2=(E+V_0)\frac{2m}{\hbar^2}$
这样可以得到通解如下：
$\psi(x) = C \sin(lx) + D \cos(lx)$
这点，本来同样也可以给出上面一样通解，只要把k换成常数l就可以了，但是视频说这里写成三角函数会简单一些。我个人理解，这是因为上图中势阱区域内的波函数呈现明显波的形式，所以可简化为三角函数的线性叠加通解
$x>a$ ，此时 $E<V$
$\partial_{xx} \psi = (+) \psi，\partial_{xx}表示二次导数大于0，因为E - V <0,而动能前面有一个负号，负负得正$

$\partial_{xx} \psi = k^2 \psi,其中k=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar},根号下E<0$
这样可以得到通解如下：

$\psi(x) = F e^{-kx} + G e^{kx}$
根据波函数的归一化条件，G=0，(因为随着x增加 $G e^{kx}$ 趋近于无限大)。
所以此时通解如下：
$\psi(x) =F e^{-kx}$

2. 利用偶函数和边界条件求解上述分段波函数方程

$\psi(x) = \begin{cases} B e^{kx},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x<-a \\ C \sin(lx) + D \cos(lx),-a<x<a \\ F e^{-kx},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x>a \\ \end{cases}$

利用下面三个条件：

假设波函数为偶函数
$\psi(x) = C \sin(lx) + D \cos(lx)$ 函数中的C=0，且B=F
$\psi函数连续$
$F e^{-ka} = D cos(la)$
$\partial_x \psi$ 连续：
$-k F e^{-ka} = -l D \sin(la)$

将上面两个公式相除
$\Rightarrow -k = -l \tan(la)$
允许能级（allowed energies)
别忘了，其中 $k=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}，l^2=(E+V_0)\frac{2m}{\hbar^2}$
- $\frac k l = \tan{la}$
- 令 $z=la$
  那么 $z^2= \frac{2ma^2}{\hbar^2} (E+V_0)$
  接下来化简： $\frac k l = \sqrt{\frac{2mE/\hbar^2}{z^2/a^2}}= ... = \sqrt{\frac{z_0^2}{z^2}-1}$
  其中 $z_0^2 = \frac{2ma^2 V_0}{\hbar^2}$
  最后得到我们的关系式：
  $\tan(z)= \sqrt{\frac{z_0^2}{z^2}-1}$

3.总结

上面得到，假设波函数为偶函数：
$k = l \tan(la)$
假设波函数为奇函数时：
$k = -l \cot(la)$

image.png

说明：上图蓝色线为右边的那条势阱边界，红色为tan函数，蓝色为-cot函数，横坐标为z，纵坐标为势垒高度。蓝色与其他两条颜色线的交点为方程的解。

假如势垒很宽，如上图所示，z0很大的话
$z = \frac{n\pi} z, n = 1,2,3... \Rightarrow E_n + V_0 = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{4 \cdot 2 ma^2}$
如果势垒非常窄，如下图所示，此时至少有一个束缚态（交点）

image.png

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