这次的讨论班是review了一个report of state：Roadmap on Wilson loops in 3d CSM theories。主要是为了了解这个领域的发展和面临的一些挑战，虽然这并不算一个很大的领域，但是里面的工作者还是充满了passion还有物理学家的自识，才有了这篇report。不仅仅是因为自己也做一些相关的工作，还有就是被那些passion还有自识所感动，所以我才想在这次的讨论班上分享一下这个report，同样的，不但是为了spread the knowledge but also the passion。
Construction
首先是构造的问题，对于一般的gauge theory，WL 就是对于gauge field沿着一个contour 积分得到的non-local 但是规范不变的算符。一个推广就是考虑在做dimension reduction的时候有些高维理论的规范场的分量在低维的理论里会变成标量场，所以就可以在WL里也包括标量场的积分，得到一个WL的推广。在4维的SYM理论里这样构造可以保持1/2的超对称。但是类似的构造在3维ABJM里只保持1/6的超对称。4维SYM理论是具有最大超对称的理论，而3维的ABJM却不是，虽然两者有许多类似的地方，但是当然会应该期待一些不同。毕竟两个理论的field contents的构成完全不同。SYM的场是在一个supermultiplet里面，所以所有的场都在一个规范对称的表示下。而对于ABJM因为两个分开的gauge group，所以他的场是有一个quiver图来表示，标量场还有费米场是在bi-fundamental的表示下的。用D-brane的图来想的话，对于SYM有一叠D3-brane，在膜上的open string的激发正好对应了理论的field contents。但是对于ABJM我们得有两叠M2膜，这样才会产生两个分开的规范场。两个膜之间也有string 相连，所以构型满足最大超对称的话，应该比ABJM理论的场多的：比如两个膜上的open string的激发也应该是一个super vector multiplet。这正好和我们的预期相符，因为在3维最大的超对称性是N=8而不是ABJM的N=6。
在AdS/CFT的对偶下，WL会对应到弦论里面的一个open string，但是ABJM里面这个的1/6 BPS（保持1/6超对称）WL的对偶open string的solution还没有找到。这就似乎预示着在ABJM理论里面存在其他的WL的构造。
现在回头看，想法也比较直接，既然scalar 和 fermion都是在bi-fundamental 的表示下，并且他们都不和gauge field在同一个multiplet里，在WL里我们既然包括了scalar，很自然地这里也可以把fermion包括进来。这样就可以把ABJM里所有的field考虑进来，写进一个super connection里面，同时我们不要求这个connection的超对称是不变的而是可以相差一个全导数。这样我们就可构造出更大一个family的WL。这个family里除了依赖contour以外还依赖其他的参数，这些参数也就构成了一个internal space。在internal space的一般的点上，WL还是保持1/6的超对称，但是在一些特殊位置上，则可以达到保持1/2超对称的情况。因为包括了费米子，这类型的WL也称为费米型的WL。
无论是对于SYM还是ABJM我们还是可以做进一步的推广，就是让internal space和时空相关联，也就是说在contour的不同的位置，internal space我们也去不同的点，这样构成的WL就可以保证更多的超对称。比如对于任意的contour，至少总是可以保留2个supercharge。随着contour延伸维数的变少，保证的超对称也就更多，最后如果WL完全在一个一维的直线的时候，又回到了保持最大可能超对称的情况。对于ABJM可以把WL区在一些圆上保持1/6的超对称称为latitude WL。
Computation
有了WL之后，下一步就是要计算WL的真空期望值。这里我们有2种方法：微扰法还有非微扰的exact method：localization。
微扰法就是把WL中的exponent逐级展开，得到一系列的多点函数，与关联函数不同，这些多点函数要在WL的contour上取值，这个和费曼图的微扰展开计算类似，随着圈数的增加，困难也是指数级的增长，也就需要更有效的方法来做微扰计算。目前的结果都是算到了2圈的地步，也有一些3圈的不完整的结果。有了这些结果，首先我们要验证我们算的是对的，这就需要和非微扰得到的几个进行比较。再有就是对结果进行一些解释，其中一个有意思的问题就是理论对framing的依赖关系。在Chern-simons 理论里面WL的真空值的定义是有一个framing的选择的。因为在对WL做正规化的时候，不同的正规化方案选取的得到不同的结果，反应在一个phase上面。可以理解为WL的定义还依赖于一个隐含的参数：framing，不同的参数化选取正好对应了这个参数的变化。但是对于ABJM这样的Chern-Simons-matter理论，这个framing的依赖需要重新考虑。因为matter 的贡献可能对于framing有non-trivial的依赖。基于现有的计算记过，可以看成这个依赖还是反应在一个phase上面，这个问题还没有被完全解决，需要更仔细的考虑才行。
因为具有超对称，ABJM可以利用localization的方法进行精确求解。这个技巧只限于具有fermionic 对称性的理论。并且可以找到一个非复的势能，那么就可以把场的位形限制在势能为0的地方。如果这些势能为0的地方对应于常数场，那么最后我们就会得到一个matrix model，在large N（matrix的维数）的极限下，可以有一些有效的方法求解。但是并不是所有的WL都能用localization来计算，因为matrix model只要在compact的空间下才收敛，所以这就要求WL是可以定义在这些compact的空间里的才行。所以也只是对于1/6的bosonic WL有一个好的matrix model计算，对于1/6的fermionic lattitude WL只有一个猜测的解。
接下来就是比较diverse topic的讨论。
WL in N=4 theory
对于其他的保持不同数目超对称的Chern-Simons-matter theory，同样的可以构造bosonic或者fermionic的WL。在N=4的理论里出现了一个有意思的现象。就是对于同一个countour可以构造两类WL，这就出现了一个degenerate的问题。他们的引力对偶是怎样的？在量子水平下，这个的degeneracy会不会被破坏。
WL with corners：cusp
这里我们考虑另外一类WL，就是带有尖角的WL。这些尖角会对WL的值有一些额外的贡献，并且同样的这个贡献可以用微扰和非微扰的方法来计算。另外一个比较重要的地方是，在4维SYM的情况里，这个贡献还可以通过另外的一种非微扰的方法：可积性来计算。这些结果可以回想印证。在ABJM里，一个比较有意思的点是，除了在空间中可以有夹角外，在internal space也可以存在一个夹角。
非微扰计算有两种办法。一种是把WL看成是理论的里面的defects，然后这些defect会modify ward identies。所以WL的deformation可以看做是defect的变化也就是ward identity的变换，也就是关联函数的变化。利用这个fact我们能把尖角的计算转化为一些deformation算符的关联函数的计算。
另外一种方法是，通过共形变换我们可以把直线映射成圆，同时把尖角映射成一个圆的deformation，因为圆的WL可以用matrix model来计算，那么可以考虑一个deformed matrix model 来做新的非微扰计算。这些exact的结果是期待可以和可积性的结果进行比较的。下面我们会看到这对理论可积性的结果有一些重要的意义。
Holography for ABJM WL
之前也提过，目前只有两个WL有比较具体的引力对偶：一个是cusp还有一个是latitude 1/6 fermionic WL。找到引力对偶很重要的一个作用就是可计算WL在强相互作下的微扰展开，从而可以和exact的结果进行比较。
Integrability
这里也是主要有两个问题。
在4维的SYM的计算里，可积性起到了比较决定性的作用。但是在ABJM的理论里，可积性似乎并不完备，由可积性得到的结果都依赖于一个interpolating function, 而这个function 本身却并不能从可积性单单得到。所以这就给可积性的应用蒙上了一层层小小的阴影。要计算这个interpolating function 就像我们刚才提到的，我们要想办法把可积性结果与localization的exact的结果进行比较。
另外一个问题关于open spin chain的问题。在WL里面插入一些local operator，在计算这些local operator 的谱的时候可以把问题映射成一个open spin chain的问题。但是在open spin chain的边界上激发会有non-trivial的散射，这个散射要满足可积条件。对于4维的SYM，这个可积条件是完全可以有对称性得到的。但是在ABJM理论却还没有完全解决这个问题。
