表象间的变换算符

假设有两个力学量算符A和B，它们构成了各自的表象

设： $\hat{A}|\varphi_i\rangle=\alpha_i|\varphi_i\rangle，\hat{B}|\phi_i\rangle=\beta_i|\phi_i\rangle$

$\{|\varphi_i\rangle\}$ ：A表象的基矢
$\{|\phi_j\rangle\}$ ：B表象的基矢

将B表象的基矢用A表象的基矢展开：
$|\varphi_i\rangle=\sum_{n}|\varphi_n\rangle\langle\varphi_n|\phi_i\rangle=\sum_{n}{S_{in}}^{*}|\varphi_n\rangle$
这里定义： $S_{in}=\langle\phi_i|\varphi_n\rangle$
$\left[ \begin{matrix} \phi_1\\\phi_2\\\cdots \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} {S_{11}}^{*}&{S_{12}}^{*}&\cdots\\ {S_{21}}^{*}&{S_{22}}^{*}&\cdots\\ \cdots&\cdots&\cdots\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \varphi_1\\\varphi_2\\\cdots \end{matrix} \right]$
即： $|\phi\rangle=S^{*}|\varphi\rangle，|\varphi\rangle=\widetilde{S}|\phi\rangle$
$SS^+=S^+S=I$
关于 $\langle\phi|=\langle\varphi|(S^*)^+$ 的说明
设 $\langle\phi|=\langle\varphi|S'$ ,则有
${ \langle\phi|\phi\rangle=\langle\varphi|S'S^*|\varphi\rangle\\ I=S'S^*\rightarrow S'=(S^*)^+ }$
遗留问题： $\widetilde{S}与S^+都是S的广义逆?$

如何求得变换算符

设表象A的基矢为 $|\phi_i\rangle$ ,表象B的基矢为 $|\varphi_i\rangle$
按矩阵元法:
${ S_{ij}=\langle\phi_i|\varphi_j \rangle\\ 基矢|\phi_i\rangle在基矢|\varphi_j\rangle上的分量 }$
外积求法:
$S=\sum_{i}|\varphi_i\rangle\langle\phi_i|$

应用举例

求动量算符本征态在坐标表象中的表示
对于动量表象下的任一本征态 $|\vec{p_i}\rangle$ 用坐标表象的基矢 $|\vec{r_n}\rangle$ 展开:
${ \begin{aligned} |\vec{p_i}\rangle&=\sum_{n}|\vec{r_n}\rangle\langle\vec{r_n}|\vec{p_i}\rangle\\ &=\sum_{n}{S_{in}}^{*}|\vec{r_n}\rangle \end{aligned} }$
求动量表象下的任意态用坐标表象展开
$\Large{ \left[ \begin{matrix} p_1\\ p_2\\ \cdots \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} {S_{11}}^{*}&{S_{12}}^{*}&\cdots\\ {S_{21}}^{*}&{S_{22}}^{*}&\cdots\\ \cdots&\cdots&\cdots \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} r_1\\ r_2\\ \cdots \end{matrix} \right] }\\ \Large|\vec{p}\rangle=S^*|\vec{r}\rangle$