等额本息与等额本金详解

导读

等额本息和等额本金是常见的两种贷款还款方式，但是它们具体是如何计算的呢？本文就分别来对它们进行详细解读！

符号说明

1、A ——  贷款总额，   例如：100万；

2、r   ——  月利率，       例如：0.5%；

3、T  ——  还款总期数，例如：360个月；

等额本息

等额本息：顾名思义就是每月需要偿还的本金+利息是一个定值M，即：所谓的等额，下面就来计算该值。

等额本息每月还款额

假设：第i个月的欠款总额为：b_{i} ，第i个月需要还的本金为：a_{i} ，则：

第1个月欠款总额为：b_{1} =A，                   还款额为：a_{1}+b_{1}r=M；

第2个月欠款总额为：b_{2}=A-a_{1}，        还款额为：a_{2}+b_{2}r=M；

......

第n个月欠款总额为：b_{n}=A-\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}，还款额为：a_{n}+b_{n}r=M；

显然：

b_{n-1}-b_{n}=(A-\sum_{i=1}^{n-2}a_{i} )-(A-\sum_{i=1}^{n-1}a_{i} )=

                                                   \sum_{i=1}^{n-1}a_{i} -\sum_{i=1}^{n-2}a_{i}= a_{n-1}=M-b_{n-1}r----(1)

因此：

b_{n}=(1+r)b_{n-1}-M-----------------------------------------------------------(2)

另：c_{n}=b_{n}+x，则：

\frac{c_{n}}{c_{n-1}} =\frac{b_{n}+x}{b_{n-1}+x}=(1+r)---------------------------------------------------(3)

结合公式(1)，进而可得：x=-\frac{M}{r}

显然，c_{n}是一个公比为(1+r)的等比数列，因此得出：

c_{n}=b_{n}-\frac{M}{r} =(b_{1}-\frac{M}{r})(1+r)^{n-1} =(A-\frac{M}{r})(1+r)^{n-1} -----(4)

另外，当还完第T期之后，欠款总额为：b_{T+1}=0，因此结合公式(4)可得出：

c_{T+1}=b_{T+1}-\frac{M}{r} =0-\frac{M}{r}=(A-\frac{M}{r})(1+r)^{n-1} ----------------(5)

化简公式(5)可得出：

每月还款额：M=\frac{Ar(1+r)^{T}}{ (1+r)^{T}-1} -----------------------------------------------(6)

进一步还可以计算出：前n个月还款本金总额和前n个月还款利息总额：

前n个月还款本金总额：

由于，因此：\sum_{i=1}^{n}a_{i}=nM-r(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})=nM-r\sum_{i=1}^{n}b_{i}；

通过计算等比数列c_{n}的前n项和可得出：\sum_{i=1}^{n}b_{i}-\frac{nM}{r} =(A-\frac{M}{r})\frac{(1+r)^{n}-1 }{r} ，从而可得出前n个月还款本金总额：

\sum_{i=1}^{n}a_{i}=nM-r\sum_{i=1}^{n}b_{i}=(M-Ar)\frac{(1+r)^{n}-1 }{r} =\frac{Ar}{(1+r)^{T}-1 } \frac{(1+r)^{n}-1 }{r}   

             =A\frac{(1+r)^{n}-1}{(1+r)^{T}-1}

前n个月还款利息总额：

r\sum_{i=1}^{n}b_{i}=nM-\sum_{i=1}^{n}a_{i}=A\frac{[nr (1+r)^{T}-(1+r)^{n}+1 ]}{(1+r)^{T}-1 } 。

最终可得出等额本息的如下指标：

每月还款额：M=\frac{Ar(1+r)^{T}}{ (1+r)^{T}-1} ；

第n个月的还款本金：a_{n}=M-rb_{n}=M-r[(A-\frac{M}{r} )(1+r)^{n-1}+\frac{M}{r} ]=

                                        =(M-Ar)(1+r)^{n-1}=\frac{Ar(1+r)^{n-1 } }{(1+r)^{T}-1 } ；

第n个月的欠款总额：b_{n}=A-\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}=A\frac{(1+r)^{T}-(1+r)^{n-1}}{(1+r)^{T}-1} ；

第n个月的还款利息：rb_{n}=M-a_{n}=\frac{Ar(1+r)^{T}}{ (1+r)^{T}-1} -\frac{A r(1+r)^{n-1} }{(1+r)^{T}-1 } =

                                          =Ar\frac{(1+r)^{T }-(1+r)^{n-1 } }{ (1+r)^{T}-1}；

前n个月还款本金总额：\sum_{i=1}^{n}a_{i}=A\frac{(1+r)^{n}-1}{(1+r)^{T}-1} ；

前n个月还款利息总额：r\sum_{i=1}^{n}b_{i}=A\frac{[nr (1+r)^{T}-(1+r)^{n}+1 ]}{(1+r)^{T}-1 } ；

等额本金

等额本金：顾名思义就是每月需要偿还的本金是一个定值\frac{A}{T} ，即：所谓的等额。

相对于等额本息，等额本金要容易计算的多。

第n个月的还款总额：M=a_{n}+rb_{n}=A\frac{1+Tr-nr +r }{T} ；

第n个月的还款本金：a_{n}=\frac{A}{ T } ；

第n个月的欠款总额：b_{n}=A-\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}=A-(n-1)\frac{A }{ T } =A\frac{T-n+1 }{ T }；

第n个月的还款利息：rb_{n}=A[r-(n-1)\frac{r}{ T } ]=Ar\frac{ T-n+1 }{ T }；

前n个月还款本金总额：\sum_{i=1}^{n}a_{i}=A\frac{n}{T} ；

前n个月还款利息总额：r\sum_{i=1}^{n}b_{i}=Ar\frac{-n^2+2nT+n }{2T } ；

对比分析

为了便于分析，假设贷款总额：A=1000000，还款期数：T=360，月利率：r=0.005。

图1-还款本金与还款期数曲线

由图1可知无论采用哪种还款方式，无论是否提前还款，最终要还的本金总额不变(不是废话嘛，哈哈！)，都为：A=1000000。

图1中曲线的斜率表示每月还款的本金额度。

蓝色曲线表示等额本金，其斜率为一个定值，即：每月还的本金固定不变；

红色曲线表示等额本息，其斜率为指数函数，即：每月还的本金越来越多；

图2-还款利息与还款期数曲线

由图2可知等额本金的还款利息明显少于等额本息。

图3-还款总额与还款期数曲线

图3中的蓝色曲线(等额本金)是一个开口向下的抛物线，其斜率反应的是每月还款的多少，显然其斜率越来越小，因此刚开始还款压力较大，越往后还款压力越小；相反，红色曲线(等额本息)是一条直线，其斜率不变，因此每月还款额也不变。

另外，也可以明显看出还款初期阶段，等额本息每月还款额少于等额本金，但是等额本金的总还款额度明显少于等额本息。

最后，值得一提的是，在r与T的正常取值范围内，

图3中的红蓝曲线交点横坐标为：n=\lceil \frac{2}{r} + 1-\frac{2T}{(1+r)^{T }-1} \rceil ，

即：需要这么多个月，等额本息与等额本金总还款额才会相等；

当蓝色曲线(等额本金)与红色曲线(等额本息)的斜率相等时，n=\lceil \frac{1}{r } + 1-\frac{T }{(1+r)^{T }-1}\rceil ，

即：该月等额本息与等额本金的还款额基本相等。

总结

1、对于大部分人来说，一般都采用等额本息的还款方式，因为大多数人还款初期阶段，往往资金有限，每月都愿意少还点钱；

2、而对于那些临时缺钱、打算提前还款的人，则采用等额本金的还款方式更划算，因为提前越早，相对还的总利息越少；

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