MATLAB学习笔记——插值与拟合

（一）插值

在应用领域中，由有限个已知数据点，构造一个函数，由此计算数据点之间的函数值，称为插值。

一维插值

1.拉格朗日插值法

基本原理
构造一组基函数
Lagrange插值函数
因为matlab没有提供Lagrange插值函数，故需要自己构造。

x0，y0为原始坐标点，维度必须相同。
x为待插值的点。
y是返回值，是最终插值结果。

function y=lagrange(x0,y0,x)   %x0,y0为初始坐标，x为需要插值的点，返回的y为插值结果
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
    z=x(i);
    s=0;
    for j=1:n
        p=1;
        for k=1:n
            if k~=j
                p=p*((z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)));
            end
        end
        s=p*y0(k)+s;
    end
    y(i)=s;
end

2.分段线性插值法

基本原理
将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数。计算x点的插值时，只用到x左右的两个节点，计算量与节点个数n（初始值x0，y0的长度,n=length(x0)）无关，而拉格朗日插值与n值有关。分段线性插值中n越大，分段越多，插值误差越小。
分段线性插值函数
matlab有提供现成的函数：interp1
y = interp1(x,y,cx,'method')

x,y分别表示数据点的横、纵向量 $\color{red}{(x必须单调)}$
cx表示需要插值的横坐标数据或数组 $\color{red}{(cx不能超过x的范围)}$
method为可选参数，从以下四个值中任选一个：
'linear'——线性插值（默认）
'nearest'——最近邻近插值
'cubic'——三次插值
'spline'——三次样条插值（下面接着讲）

三次样条插值
方式一
y = interp1(x,y,cx,'spline')
方式二
pp=csape(x0,y0);
y=ppval(pp,x);
其中x0，y0，x与前面含义相同，返回值y即插值结果。

例题

在12h内，每隔1h测量一次温度，温度依次为：5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24.每隔1/10h估计一次温度值.

hours = 1:12;
temps = [5 12 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];
h = 1:0.1:12;
t = interp1(hours,temps,h,'spline');
plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:');%画图
xlabel('Hour'),ylabel('Degrees Celsius') %横纵坐标分别表示Hour和Degrees Celsius

小结

以上三种插值方法都是一维插值，它们有如下特点：
拉格朗日插值（高次多项式插值）：其插值函数在整个区间上是一个解析表达式，便于再次开发利用；曲线光滑；误差估计有表达式；收敛不能保证（有振荡现象）；用于理论分析，实际意义不大。
分段线性和三次样条插值（低次多项式插值）：曲线不光滑（三次样条插值已有较大改进）；收敛性有保证；简单实用，应用广泛。

二维差值

二维差值是基于一维插值同样的思想，但它是对两个变量的函数z = f(x,y)进行插值。
求解思路
构造一个二元函数z = f(x,y),通过全部已知结点，即f(x_i,y_j) = z_ij (i=0,1,…,m; j=0,1,…,n) 或 f(x_i,y_i) = z_i(i=0,1,…,n),再利用f(x,y)插值，即z^* = f(x^*,y^*)。

1.网络结点插值法

适用于数据点比较规范，即在所给数据点范围内，数据点要落在由一些平行直线组成的矩形网络的每个顶点上。

问题描述：已知m×n个结点，i = 1,2，…,n,且x₁<x₂<x₃…<x_m，y₁<y₂<y₃…<y_n。求点（x^*,y^*）(!=(x_i,y_i))处的插值z^*。
matlab提供二维插值函数interp2
cz = interp2(x,y,z,cx,cy,'method')

x,y是自变量。 $\color{red}{(x，y的分量必须是单调递增的)}$ x是m维向量，指明所给数据网格点的横坐标；y是n维向量，指明所给数据网格点的纵坐标。
z是m×n阶矩阵，标明相应于所给数据网络点的函数值。
cx,cy分别是给定的网格点的横、纵坐标。cx，cy应是方向不同的向量，即一个是横向量，一个是纵向量。
method为可选参数，从以下四个值中任选一个：
- 'linear'——线性插值（默认）
- 'nearest'——最近邻近插值
- 'cubic'——三次插值
- 'spline'——三次样条插值

例题

测得平板表面5x3网格点出的温度分别为：82 81 80 82 84；79 63 61 65 81；84 84 82 85 86.以每间隔0.2个单位网格的地方警醒插值.

clear;clc;
x = 1:5;
y = 1:3;
[x1,y1] = meshgrid(x,y);%使坐标网格化
temps = [82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86];
cx = 1:0.2:5;
cy = 1:0.2:3;
[cx1,cy1] = meshgrid(cx,cy);
cz = interp2(x1,y1,temps,cx1,cy1,'cubic');
mesh(cx,cy,cz) %构造曲面的画图函数

2.散乱数据插值

使用于一般的数据点，多用于数据点不太规范的情况。

问题描述：已知n个结点（x_i,y_i,z_i）(i=1,2,…,n)，求点（x^*,y^*）(!=(x_i,y_i))处的插值z^*。
matlab提供二维插值函数griddata
cz = griddata(x,y,z,cx,cy,'method')

x,y,z均是n维函数，指明所给数据点的横坐标、纵坐标和竖坐标。
cx，cy分别是给定的网格点的横、纵坐标。cx，cy应是方向不同的向量，即一个是横向量，一个是纵向量。
method为可选参数，从以下四个值中任选一个：
- 'linear'——线性插值（默认）
- 'nearest'——最近邻近插值
- 'cubic'——三次插值
- 'spline'——三次样条插值
- 'v4'——MATLAB中所提供的插值方法

散乱基点的二维插值问题
针对此问题，MATLAB提供了基于修正的shepherd插值法的函数e01sef和e01sff $\color{red}{(这两个函数必须同时使用)}$ 。首先使用e01sef求出参数rnw和fnodes，再将它们用于函数e01sff中，求得插值点的坐标。
函数格式如下
[fnodes,minnq,rnw,rnq,ifail] = e01sef(x,y,z)
[cz(i,j),ifail] = e01sff(x,y,z,rnw,fnodes,cx(i),cy(j))

x,y,z均是n维函数，指明所给数据点的横坐标、纵坐标和竖坐标。
cx，cy分别是给定的网格点的横、纵坐标。
cz是矩阵，其行数和列数分别等于cx和cy的维数
函数e01sff求出一个插值点（cx(i),cy(j)）所对应的函数值cz(i,j)。

（二）拟合

寻求函数，使得函数在某种准则下与所有数据点最为接近

1.线性最小二乘拟合

命令为：A = polyfit(x,y,m)
其中，x = (x₁,x₂,…,x_n),y = (y₁,y₂,…,y_n),A = (a₁,a₂,…,a_m+1)
多项式在x处的值y可用以下命令计算：
y = polyval(A,x)

2.非线性最小二乘拟合

在最小二乘拟合中，若要寻找的函数f(x)是任意的非线性函数，则称为非线性最小二乘拟合。MATLAB提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefit和lsqnonlin。使用这两个命令是，都要先建立-M文件fun.m，在其中定义函数f(x)，但它们定义的方式不同。

lsqcurvefit函数

设一直xdata = (xdata₁,xdata₂,…,xdata_n),ydata = (ydata₁,ydata₂,…,ydata_n),lsqcurvefit用以求含参量x(向量)的向量值函数
F(x,xdata) = (F(x,xdata₁),(x,xdata₂),…(x,xdata_n))^T
中的参变量x(向量)，使得
$\sum_{i=1}^{n}{(F(x,xtata_i)-ydata_i)^2}$
最小

输入格式为：

x = lsqcurvefit('fun',x0,xdata,ydata);
x = lsqcurvefit('fun',x0,xdata,ydata,options);
x = lsqcurvefit('fun',x0,xdata,ydata,options,'grad');
[x,options] = lsqcurvefit('fun',x0,xdata,ydata,…);
[x,options,funval] = lsqcurvefit('fun',x0,xdata,ydata,…);
[x,options,funval,Jacob] = lsqcurvefit('fun',x0,xdata,ydata,…);
输出目标函数值格式：
f = fun(x,xdata)
*x0为迭代的初值

lsqnonlin函数

设已知xdata = (xdata₁,xdata₂,…,xdata_n),ydata = (ydata₁,ydata₂,…,ydata_n),lsqnonlin用以求含参量x(向量)的向量值函数
f(x) = (f₁(x),f₂(x),…,f_n(x))^T
中的参量x,使得f^T(x)f(x) = f²₁(x)+ f²₂(x)+…+ f²_n(x)最小，其中 f_i(x) = f(x,xdata_i,ydata_i) = F(x,data_i)-ydata_i.