N皇后

题目描述：

n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

上图为 8 皇后问题的一种解法。

给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。

每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例

输入: 4
输出: [
 [".Q..",  // 解法 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // 解法 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。

解题思路：

可以创建状态指示元组和使用递归动态规划的方法来进行解题

• 核心思想是，因为皇后的控制范围为行、列和斜线，因此必定每一个皇后单独占据一行和一列，而我们填入下一个皇后的时候，可以一行一行的填入，但是需要考虑前面已经填入的所有皇后控制的范围，这里通过创建一个状态指示元组，来表示之前皇后所在的行，然后通过循环棋盘列的长度，找到合适的位置。
• 建立函数queen_pos()来返回所有填入皇后的合适位置，建立函数queen_conflict()来返回当前填入的皇后的一个合适位置
• 在queen_pos()中，参数pos为填入的皇后的列的位置，传入queen_conflict()中，并且从状态指示元组state中获得之前已经填入的皇后的坐标，而新填入的皇后的横坐标同之前任一填入皇后的横坐标之差，应该是大于两者的纵坐标之差的（因为皇后控制的斜线坐标应该是横纵坐标相等，而新填入的皇后应该在斜线的范围外）
• 直到找到合适的纵坐标以后，将其放入状态元组中，继续递归，最后将所有递归完成的元组，依次填入字符*和Q

Python源码：

from typing import List

class Solution:
    def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:
        res = []
        final_ans = []  # 数组储存的是N皇后成功放置后的一个数字组成的元组，各个数字代表各行皇后所在的列数
        ans_list = [-1 for _ in range(n)]  # 标记数组，用来表示该位置上的棋子是否满足条件
        final_ans = list(self.queen_pos(n,final_ans,()))
        for each_ans in final_ans:
            final = []
            for index in each_ans:
                # 构建最终答案，成为题目需要的形式
                row = '.'*index + 'Q'*1 + '.'*(n-index-1)
                final += [row]
            res.append(final)
        return res

    def queen_pos(self, num, final_ans, state=()):
        for pos in range(num):
            # pos指的是皇后当前应该放置的位置的横坐标，也就是列
            if not self.queen_conflict(state, pos):
                # 如果产生皇后的位置信息
                # 如果只剩下最后一个皇后没有放置
                if len(state) == num - 1:
                    yield (pos,)
                # 否则，把当前皇后的位置信息，添加到状态列表里，并且传递给下一个皇后
                # 程序要从前面的皇后得到包含未知信息的元组（元组不可更改）
                # 并且要求后面的皇后提供当前皇后的每一种合法的位置信息
                # 所以把当前皇后的位置信息，添加到状态列表里，并传递给下一个皇后
                else:
                    for result in self.queen_pos(num, final_ans, state + (pos,)):
                        yield (pos,) + result

    def queen_conflict(self, state, nextX):
        # nextY表示当前棋盘的长度，也就是下一个皇后应该落在的行的编号
        nextY = len(state)
        for i in range(nextY):
            # 遍历之前的行，state[i]表示他们所在的列数，i表示他们所在的行数
            if abs(state[i]-nextX) in (0, nextY-i):
                return True
        return False

        

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