小明想买一种四位数字的彩票。他的生日是12月31日，想用12月31日中的4个数字排列起来买彩票。1，2，3，1这4个数字变换位置后一共多少种排列方法？
我们先做卡片然后分别标上1、2、3、1这四个数字，然后将这四张卡片改变位置排列起来，数一数一共有多少种排列方法。
排列和组合，都必须从不同的元素中进行选择，而这道问题中.备选的4个数字中，出现了重复数字。
像这种含有重复元素的排列，就叫做：
首先，我们先来看一下4个数字各不相同时的排列方法，一共有：
4！=4x3x2x1=24种
然而，实际上有两张"1"的卡片。如果我们把这两张卡片分别记做
"la"和"1b"，那么"la，Ib，2.3"和"1b，la，2.3"这两种排列方法其实是相同的，都是"1、1，2、3"。
这样一来，就等于我们把"1、1、2.3"数了2次。同样，"1 、2、1、3"."2、1、1、3"和"1、2、3、1"等等我们都数了2次。
因为"1"的卡片有2张，我们数出的数字是实际数字的2！=2*1=2倍。因此，要除以2才能得到实际的排列种数：
4！÷2！=（4x3x2x1）÷（2x1）=12种
一般来说，在全部n个元索中，如果布p个、q个.......个相同的元素，那么把n个元素排成一列的方法总数，可以通过以下公式进行计算：
image.png
如果有5张数字卡片.分别为"1"."1"、"2"."3".
“3"，求它们排列方法的总数时，利用上面的公式很快就可以计算出来：
5！÷（2！x2！）=30种
