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简单积分计算（数学公式语法练手）

南柯一梦浮生尽

简单积分计算（数学公式语法练手）

侄子刚上大学，突然说有题目不会要请教一下。看了一眼，全是积分基础题。。这些都不会的话，我看他期末考是死定了。。只好帮他做一遍题，祈祷他期末能过关吧，刚好前一段看了一下markdown里的数学公式语法，也顺便练练手。以下答案供参考：

题目1

$\int x\sqrt{4-x^2} dx$

解答

令 $x=2sint$ ，则

$\quad \int x\sqrt{4-x^2} dx$

$=\int 2sint(2cost) d(2sint)$

$=\int 8sint*cos^2t dt$

$=\int -8cos^2t d(cost)$

$=-\frac {8}{3}cos^3t + constant$

$=-\frac {8}{3}{(1-(\frac {x}{2})^2)}^\frac {3}{2} + constant$

$=-\frac {1}{3}(4-x^2)^\frac {3}{2} + constant$

题目3

$\int \frac {\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx$

解答

令 $t=\sqrt{x}$ ，则

$\quad \int \frac {\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx$

$=\int \frac {t}{1+t} d(t^2)$

$=\int \frac {2t^2}{1+t} dt$

$=\int 2t-2+\frac {2}{1+t} dt$

$=t^2-2t+2ln|1+t| + constant$

$=x-2\sqrt{x}+2ln|1+\sqrt{x}| + constant$

题目4

$\int \frac {1}{1+\sqrt{2x}} dx$

解答

令 $t=\sqrt{2x}$ ，则

$\quad \int \frac {1}{1+\sqrt{2x}} dx$

$=\int \frac {1}{1+t} d(\frac{t^2}{2})$

$=\int \frac {t}{1+t} dt$

$=\int 1-\frac {1}{1+t} dt$

$=t-ln|1+t| + constant$

$=\sqrt{2x}-ln|1+\sqrt{2x}| + constant$

题目5

$\int \frac {1}{x^2\sqrt{4-x^2}} dx$

解答

令 $x=2sint$ ，则

$\quad \int \frac {1}{x^2\sqrt{4-x^2}} dx$

$=\int \frac {1}{4sin^2t (2cost)} d(2sint)$

$=\int \frac {2cost}{4sin^2t (2cost)} dt$

$=\int \frac {1}{4sin^2t} dt$

$=-\frac {cost}{4sint} + constant$

$=-\frac {\frac {\sqrt{4-x^2}}{2}}{4(\frac {x}{2})} + constant$

$=-\frac {\sqrt{4-x^2}}{4x} + constant$

题目6

$\int \frac {1}{\sqrt{x}(1+x^{1/3})} dx$

解答

令 $x=t^6$ ，则

$\quad \int \frac {1}{\sqrt{x}(1+x^{1/3})} dx$

$=\int \frac {1}{t^3(1+t^2)} d(t^6)$

$=\int \frac {6t^5}{t^3(1+t^2)} dt$

$=\int 6-\frac {6}{1+t^2} dt$

$=6t-6tan^{-1}t + constant$

$=6x^{1/6}-6tan^{-1}x^{(1/6)} + constant$

题目7

$\int \frac {1}{x\sqrt{x-1}} dx$

解答

令 $t=\sqrt{x-1}$ ，则

$\quad \int \frac {1}{x\sqrt{x-1}} dx$

$=\int \frac {1}{(t^2+1)t} d(t^2+1)$

$=\int \frac {2t}{(t^2+1)t} dt$

$=\int \frac {2}{t^2+1} dt$

$=2tan^{-1}t + constant$

$=2tan^{-1}(\sqrt{x-1}) + constant$

题目8

$\int \frac {1}{\sqrt{x+1}+2} dx$

解答

令 $t=\sqrt{x+1}$ ，则

$\quad \int \frac {1}{\sqrt{x+1}+2} dx$

$=\int \frac {1}{t+2} d(t^2-1)$

$=\int \frac {2t}{t+2} dt$

$=\int 2-\frac {4}{t+2} dt$

$=2t-4ln|t+2| + constant$

$=2\sqrt{x+1}-4ln|\sqrt{x+1}+2| + constant$

题目9

$\int \frac {e^{3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$

解答

令 $t=\sqrt{x}，则$

$\quad \int \frac {e^{3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$

$=\int \frac {e^{3t}}{t} d(t^2)$

$=\int 2e^{3t} dt$

$=\frac{2}{3}e^{3t} + constant$

$=\frac{2}{3}e^{3\sqrt{x}} + constant$

题目10

$\int \frac {1}{x\sqrt{4-x^2}} dx$

解答

令 $x=2sint，则$

$\quad \int \frac {1}{x\sqrt{4-x^2}} dx$

$=\int \frac {1}{2sint*2cost} d(2sint)$

$=\int \frac {2cost}{2sint*2cost} dt$

$=\int \frac {sint}{2sin^2t} dt$

$=\int \frac {1}{2(1-cos^2t)} d(cost)$

$=\frac {1}{4}\int (\frac {1}{{1-cost}}+\frac {1}{{1+cost}})d(cost)$

$=\frac {1}{4}(ln|1-cost|+ln|1+cost|) + constant$

$=\frac {1}{4}(ln|1-\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}|+ln|1+\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}|) + constant$

$=\frac {1}{4}(ln|1-\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}|+ln|1+\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}|) + constant$

$=\frac {1}{4}ln|\frac{1-\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}{1+\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}| + constant$

$=\frac {1}{4}ln|\frac{2-\sqrt{4-x^2}}{2+\sqrt{4-x^2}}| + constant$

$=\frac {1}{4}ln|\frac{x^2}{(2+\sqrt{4-x^2})^2}| + constant$

$=\frac {1}{2}ln|x|-\frac {1}{2}ln|2+\sqrt{4-x^2}| + constant$

题目11

$\int \frac {\sqrt{1-x}}{x} dx$

解答

令 $\sqrt{1-x} = t$ ，则 $x = 1-t^2$ 。

$\quad \int \frac {\sqrt{1-x}}{x} dx$

$= \int \frac {t}{1-t^2} d(1-t^2)$

$= \int \frac {-2t^2}{1-t^2} dt$

$= \int (2 + \frac {2}{t^2-1}) dt$

$= \int (2 - \frac {1}{t+1} + \frac {1}{t-1}) dt$

$= 2t -ln(t+1) + ln(|t-1|) + constant$

$= 2\sqrt{1-x} -ln(\sqrt{1-x}+1) + ln(|\sqrt{1-x}-1|) + constant$

最后编辑于：2019.12.04 10:16:05

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