群的结构

子群的生成

定义：设G是一个群，X是G的一个子集，设 $\{H_i \}_{i \in I}$ 是G的包含X的所有子群，则 $\bigcap_{i\in I}H_i$ 构成G的一个子群，叫做G的由X生成的子群，记为<X>。

证明.
$\forall a,b\in \bigcap_{i\in I}H_i, a,b\in H_i,for\space all\space i\in I$
由于 $H_i$ 是各自为一个群，则 $ab^{-1}\in H_i,for\space all\space i\in I$
$\therefore ab^{-1}\in\bigcap_{i\in I}H_i$
$\therefore \bigcap_{i\in I}H_i$ 是G的一个子群

Notation： X的元素称为子群<X>的生成元，如果X={ $a_1,\cdots,a_n$ }，则可以将<X>记为< $a_1,\cdots,a_n$ >。如果G=< $a_1,\cdots,a_n$ >，则称G是有限生成的，特别的，如果G=<a>，则称G为a生成的循环群。

下面给出生成子群中元素的显示表示：
设G是一个群，X=< $a_1,\cdots,a_t$ >是G的一个子集则，
<X>={ $a_1^{n_1}\cdots a_t^{n_t} | a_i\in X,n_i\in Z,1 \le i \le t$ }，其中每个元素之间的运算都是群G上的运算。

元素的阶：设G是一个群，a $\in$ G，则子群<a>的阶称为元素a的阶，记为ord<a>。

事实上，元素a的阶，ord<a>，就是满足 $a^n=e$ 的最小正整数 n。

证明：满足ord(a) > 2的元素 a 的个数一定是偶数。
当 $a=a^{-1}$ 时， $a^2=e$ ，则 ord(a) = 2
所以满足 ord(a)>2 的元素a，都满足 $a\ne a^{-1}$
设ord(a) = n
$(a^{-1})^n = (a^n)^{-1}=e^{-1}=e$
假设 $\exists n', 1\le n' <n$ 使得， $(a^{-1})^{n'}=e$
则： $a^{n'}=((a^{-1})^{-1})^{n'}=((a^{-1})^{n'})^{-1}=e^{-1}=e$
而这与ord(a)=n的前提相违背
所以 $ord(a^{-1})=ord(a)=n$
综上所述，一个群中的元素的阶如果大于2，那么这个元素与它的逆元一定是不相同的，并且与逆元的阶是相等的。
所以满足ord(a) > 2的元素都是成对存在的。

循环群

在讨论群的结构时，循环群是最为简单的一种群的结构。
由上面对循环群的描述，循环群可以用集合的形式表示为：<a>={ $a^n|n\in Z$ }
也就是说循环群中的每一个元素都可以写成a的n次幂的形式，其中a $\in$ G，n是一个整数。

定理：由整数上的加法构成的群Z，它的每一个子群H都是循环群，并且有H=<0>或H=<m>=mZ={km|k $\in$ Z}，其中m是H中的最小正整数。并且如果H $\ne$ <0>，则H是无限的。

证明.

当H=<0>={0}时，由于0是整数加法群的单位元，所以H是Z的一个子群。
当H $\ne$ <0>时，设 $a\in H,a^{-1}=-a\in H$ ，所以H中存在正整数的，设H中的最小的正整数为m，不妨假设a>0，则 $\exists$ r $\in$ Z，使得 a = qm + r，其中q $\in$ Z，0 $\le$ r<m。
如果r $\ne$ 0，则r= a - qm =a + q(-m) $\in$ H（群的运算封闭性），这与m是H中最小的正整数的前提违背，所以r=0。而 $\forall a\in H,a=km,k\in Z$ ，所以H是循环群。

群的进一步性质：设G是一个群，a $\in$ G，则
1.当<a>是无限群时，有：
i) $a^k=e$ ，当且仅当k=0
ii)元素 $a^k(k\in Z)$ 两两不等

证明.
考虑加群Z到群G的映射 $f:n\mapsto a^n$ ，不难证明 f 是同态。
则由同态分解定理可得： $Z/ker(f)\cong f(Z)=<a>$
而由前面的定理可知，ker(f)作为Z的子群要么是<0>要么是<m>=mZ。
$\because$ <a>是无限的
$\therefore$ ker(f)=<0>，并且<a>与Z/ker(f)是一对一的关系

2.当<a>是有限群时，设ord(a)=m，此时有：
i)m是使得 $a^m=e$ 的最小正整数
ii) $a^k=e$ ，当且仅当 m | k
iii) $a^r=a^k$ ，当且仅当r $\equiv$ k(mod m)
iv)元素 $a^k(k\in Z/mZ)$ 两两不等
v)<a>={ $a,a^2,\cdots,a^{m-1},a^m=e$ }
vi)对任意整数1 $\le$ d $\le$ m，有 $ord(a^d)=\frac{m}{(d,m)}$

证明.
同样的，构造映射 $f:n\mapsto a^n$ ，则 $Z/ker(f)\cong f(Z)=<a>$
而这里<a>是有限的，并且ord(a)=m
所以m是使得 $a^m=e$ 的最小正整数
而 $a^k=e$ 等价于 $k\in ker(f)$ ，等价于k | m，相似的， $a^r=a^k$ 等价于> $r-k\in ker(f)$ ，等价于r $\equiv$ k(mod m)
因为Z/ker(f)与<a>是一一对应的，所以 $a^k(k\in Z/mZ)$ 两两不等
最后一个性质：
对于群 $<a^d>$ ， $(a^d)^k=e$ 等价于 $dk\in ker(f)$ ，等价于m|dk，等价于 $\frac{m}{(d,m)} | \frac{d}{(d,m)}k$ ，显然 $\frac{m}{(d,m)}$ 与 $\frac{d}{(d,m)}互素$ ，所以由此可以得到 $\frac{m}{(d,m)}|k$
因此 $ord(a^d)=\frac{m}{(d,m)}$

循环群的性质：设G是一个循环群.
i)如果G是无限的，则G的生成元为 $a$ 或 $a^{-1}$ .
ii)如果G是有限阶m，则 $a^k$ 是G的生成元当且仅当(k,m)=1.

定理：每个无限循环群同构于加群Z，每个阶为m的有限群同构于加群Z/mZ.
这个定理同样可以通过前面构造从整数加群到循环群G的同构映射而得到证明。

置换群

定义：设S={1,2,...,n}，称S到其自身的映射σ是一个置换，如果σ是双射，即
$\sigma:S\rightarrow S$ ( $k\mapsto i_k$ )
通常将 n 元置换σ写成 $(\begin{matrix} 1&2&\cdots&n \\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n) \end{matrix})$

置换的乘法：设 $\sigma$ 和 $\sigma'$ 是S上的两个置换，则它们的乘积 $\sigma\sigma'$ 也是S上的一个置换，且 $(\sigma\sigma')(i)=\sigma(\sigma'(i))$
如果把置换看作S到自身的函数，则置换乘法就是函数复合运算。

例：令 $\sigma=(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \\ 6&5&4&2&1&3 \end{matrix})$ 和 $\sigma'=(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \\ 5&6&4&2&3&1 \end{matrix})$ 是S={1, 2, 3, 4, 5, 6}上的置换，则 $\sigma\sigma'=(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \\ 1&3&2&5&4&6 \end{matrix})$
即先做 $\sigma'$ 的置换，再做 $\sigma$ 的置换

置换的逆变换：设 $\sigma=(\begin{matrix} 1&2&\cdots&n \\ \sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n) \end{matrix})$ ，则其逆变换为 $\sigma^{-1}=(\begin{matrix} \sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n) \\ 1&2&\cdots&n \end{matrix})$

置换群：n元置换全体组成的集合 $S_n$ 关于置换乘法构成一个群，其阶为 $n!$ .

轮换：设σ是一个n元置换，如果存在I={ $i_1,i_2,\ldots,i_n$ } $\subset$ {1,2,...,n}，使得 $\sigma(i_j)=i_{j+1},\sigma(i_k)=i_1$ ，其中j=1,2,..,k-1，并且对任意 $j\in$ {1,2,...,n}\I，都有 $\sigma(j)=j$ ，那么称σ是一个k-轮换，记作( $i_1,i_2,...,i_k$ )。

定理：任意置换都可以表示成为不相交的轮换的乘积，且在不考虑乘法顺序的情况下，该表示是唯一的。

例：令 $\sigma=(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \\ 6&5&1&2&4& 3 \end{matrix})$ 是S={1, 2, 3, 4, 5, 6}上的一个置换，则σ可以表示为两个轮换的乘积，即
$(\begin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \\ 6&5&1&2&4& 3 \end{matrix})=(1,6,3)(2,5,4)$

轮换的乘积例题
求：(1, 3)(1, 2)
解：设 $\sigma_1=(1, 3), \sigma_2=(1,2)$
(1, 3)(1, 2) = $\sigma_1 \sigma_2$
$\sigma_1\sigma_2(1)=\sigma_1(\sigma_2(1))=\sigma_1(2)=2$
$\sigma_1\sigma_2(2)=\sigma_1(\sigma_2(2))=\sigma_1(1)=3$
$\sigma_1\sigma_2(3)=\sigma_1(\sigma_2(3))=\sigma_1(3)=1$
所以(1, 3)(1, 2) = $(\begin{matrix} 1&3 \\ 3&1 \end{matrix})(\begin{matrix} 1&2\\ 2&1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1&2&3 \\ 2&3&1 \end{matrix})$ = (1, 2, 3)

群的结构

子群的生成

循环群

置换群

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