群论的基本概念

代数系

定义:设S是一个非空集合，那么S与自身的笛卡尔积到S自身的映射就叫做S的结合法或运算即：
$S\times S\to S$
$(a,b)\mapsto c$
这时，S叫做代数系。换句话说，对于一个集合S，如果在这个集合上的某种运算是封闭的( $\forall a,b\in S,f(a,b)\in S$ )，那么就称S是这种运算的代数系。

群

代数系有时候也被称为广群，当一个广群满足某些条件的时候，便可以称作群
1.结合律
设S是具有一个运算的非空集合，如果对S中的任意元素a,b,c，在S上的运算都有：
(ab)c = a(bc)
则称该运算满足结合律。
2.单位元
设S是一个具有运算的非空集合，如果S中存在一个元素e；使得对S中的所有元素a都有：
ea = ae = a
则称该元素e为S中的单位元，通常记作e
3.可逆性
设S是一个具有运算并且有单位元的非空集合，设a是一个S中的元素，如果S中存在一个元素a'使得:
aa' = a'a = e
则称该元素a为S中可逆元，a'称为a的逆元，通常记作 $a^{-1}$
4.群的定义：
设G是一个具有运算的非空集合，称G为一个群，如果G上的运算满足下面三个条件：
(i)结合律，即对 $\forall a,b,c \in G$ 都有：
(ab)c = a(bc)
(ii)单位元，即 $\exists e$ 使得 $\forall a\in G$ 都有：
ae = ea = a
(iii)可逆元，即 $\forall a \in G, \exists a'\in G$ 使得：
aa' = a'a =e
如果群G中的元素个数叫做群G的阶，记位|G|；当|G|为有限数的时，G叫做有限群，否则G叫做无限群。
换句话说，如果在集合G上的运算满足结合律，并且在该运算下G中存在单位元，并且G中的每个元素都有逆元，则称G是一个群。

证明：设S是一个具有运算的非空集合，则S中的单位元e是唯一的。
反证法，设e和e'都是S中的单位元，则根据单位元的定义可知：
e' = ee' = e

因此群的单位元是唯一的
5.交换律
设S是一个具有运算的非空集合S，如果 $\forall a,b \in G$ 都有：
ab = ba
则称该运算满足交换律。
如果群G中的运算还满足交换律，那么则称这个群是交换群或者阿贝尔(Abel)群。

群的性质

定理：设n是正整数，如果 $a_1 = a_2 = \dots= a_n = a$ ，则记 $a_1a_2\dots a_n = a^n$ ，称为 a 的 n 次幂；特别地，定义 $a^0=e$ 为单位元， $a^{-n} = (a^{-1})^n$ 逆元 $a^{-1}$ 的n次幂。
性质：设a是群G中的任意元素，则对任意的整数m, n, 有:
$a^ma^n=a^{m+n}, (a^m)^n=a^{mn}$

子群

定义:设H是群G的一个子集合，如果对于群G的运算，H成为一个群，那么H就叫做群G的子群，记作 $H\le G$
Notation:H={e}和H=G都是群G的子群，叫做群G的平凡子群；群G的子群H叫做群G的真子群，如果H不是群G的平凡子群。

证明： $H$ 是群 $G$ 的子群，则 $G$ 的单位元也是 $H$ 的单位元
设 $e$ 是 $G$ 的单位元， $e‘$ 是 $H$ 的单位元. $a\in H, \forall b \in G$ 则有：
$e'b = e'eb = e'a^{-1}ab = aa^{-1}b = eb = b$
同理可得: $be'=b$
根据单位元的定义可知， $e’$ 也是群 $G$ 的单位元
$\therefore' e'=e$ ，即群 $G$ 的单位元也是群 $H$ 的单位元

子群的判定定理:设 $H$ 是群 $G$ 的一个非空子集，则H是群G的子群的充分必要条件是：
$\forall a,b \in H, ab^{-1}\in H$

证明：充分性
因为 $H$ 和 $G$ 上的运算是相同的，所以不必再证明H上的运算的是否满足结合律
$\because$ 群G的单位元也是群H的单位元
$\therefore e \in H$ ，即H有单位元
又 $\because$ 对于 $e\in H, \forall a\in H$ 有， $a^{-1}=ea^{-1}\in H$ (假设条件)
$\therefore \forall a\in H, a^{-1}\in H$ 即H中的每个元素都有逆元
所以 $H$ 是 $G$ 的子群
必要性
若 $H$ 是一个群，则 $\forall b\in H, b^{-1}\in H$
又由群的运算封闭性可知 $\forall a\in H, ab^{-1}\in H$

陪集

陪集的定义:设 $H$ 是群 $G$ 的子群， $a$ 是 $G$ 中任意元素，那么集合：
$aH=\{ah|h\in H\}$
叫做 $G$ 中 $H$ 的左陪集(相似的，可以定义 $G$ 中 $H$ 的右陪集 $Ha$ )， $aH$ 中的元素叫做 $aH$ 的代表元，如果 $aH=Ha$ ，则 $aH$ 叫做 $G$ 中 $H$ 的陪集
需要注意的是，在陪集定义中的 $ah$ 是指 $a$ 和 $h$ 在群 $G$ 上定义的运算

实例：整数集合Z是一个对于加法运算构成一个群，设n>1，则H = nZ={n*k | k $\in$ Z}是Z的子群，而子集：
$a+H=\{ a+h|h\in H \}$
而 $H=nZ,\space h=k\cdot n,\space k\in Z$
所以 $a+H = a+nZ=\{a+k\cdot n|k\in Z\}$
就是nZ的陪集，这个陪集就是模n的剩余类

陪集的性质:设 $H$ 是群 $G$ 的子群，则
i)对任意 $a\in G$ ，有： $aH=\{ c|c\in G,a^{-1}c\in H \}$ ，
ii)对任意 $a\in H$ ，有 $aH=H=Ha$
判断陪集相等:对任意 $a,b\in G,aH=bH$ 的充要条件是 $b^{-1}a\in H$ ，相反的如果 $ab^{-1}\notin H$ ，则 $aH\ne bH$ 。

商集

商集的定义:设H是群G的子群，则H在G中不同左陪集组成的新集合
$\{aH|a\in G\}$ ，叫做H在G中的商集，记作G/H,即 $G/H=\{ aH|a\in G \}$
而G/H中不同左陪集的个数叫做H在G中的指标，记为[G:H]

商集指标的性质:设H是群G的子群，则|G|=[G:H]|H|
更进一步，如果 $K,H$ 是群 $G$ 的子群，且 $K$ 是 $H$ 的子群，则
$[G:K]=[G:H][H:K]$ ，其中的每个指标都是有限的

拉格朗日推论:设 $H$ 是有限群 $G$ 的子群，则子群的阶 $|H|$ 是群 $G$ 的阶 $|G|$ 的因数

正规子群

定义:设N是群G的子群，称N为群G的正规子群，如果N满足：
i)对任意 $a\in G$ ，有 $aN=Na$
ii)对任意 $a\in G$ ，有 $aNa^{-1}=N$
iii)对任意 $a\in G$ ，有 $aNa^{-1}\subset N$ ，其中 $aNa^{-1}=\{ana^{-1}|n\in N\}$

证明：上面三条性质实质上是相互等价的
$i)\rightarrow ii)$
$\forall b\in aNa^{-1},\exists n\in N$ 使得 $b=ana^{-1}$
$ba=ana^{-1}a=an\in aN=Na$
$\therefore \exists n'\in N$ 使得 $ba=n'a$
$\therefore b=n'\in N$
$\therefore aNa^{-1} \subset N$
又 $\forall b\in N$ ，有 $ba\in Na=aN$
$\therefore\exists n\in N$ 使得 $ba=an$
则 $baa^{-1}=ana^{-1}\therefore b=ana^{-1}$
$\therefore b\in aNa^{-1}$
$\therefore N\subset aNa^{-1}$
综上所述 $aNa^{-1}=N$
$ii)\rightarrow i)$
$\forall b\in aN,\exists n\in N$ 使得 $b=an$
则 $ba^{-1}=ana^{-1}\in aNa^{-1}=N$
即 $\exists n'\in N$ 使得 $ba^{-1}=n'$
$\therefore ba^{-1}a=b=n'a\in Na$
$\therefore aN\subset Na$
又 $\forall b\in Na,\exists n\in N$ 使得 $b=na$
$ba^{-1}=naa^{-1}=n\in N=aNa^{-1}$
$\therefore \exists n' \in N$ 使得 $ba^{-1}=an'a^{-1}$
$即naa^{-1}=an'a^{-1}$
$\therefore na=an'\in aN$
$\therefore Na\subset aN$
综上所述 $aN=Na$
$ii)\leftrightarrow iii)$ 显然成立

正规子群的性质:设N是群G的正规子群，G/N是由N在G中的所有左陪集组成的集合，则对于运算(aN)(bN)=(ab)N，G/N构成一个群.

同态与同构

定义:设 $G$ 和 $G'$ 都是群， $f$ 是 $G$ 到 $G’$ 的一个映射，若 $\forall a,b\in G$ 有：
$f(ab)=f(a)f(b)$
则称 $f$ 是 $G$ 到 $G'$ 的一个同态
需要注意的是，同态可称作保持运算的映射：
$f(\underbrace{ab}_{G中的运算})=\underbrace{f(a)f(b)}_{G'中的运算}$
如果 $f$ 是单射，则称 $f$ 为单同态；如果 $f$ 是满射，则称 $f$ 是满同态；如果 $f$ 是双射，则称 $f$ 为同构。

如果群G和G'之间存在一个同构映射，则称G和G‘是同构的，记为G $\cong$ G'
当G=G'的时候，同态 $f$ 叫做自同态；同构 $f$ 叫做自同构。
同态的性质：
i) $f(e) = e'$ ，即同态将单位元映射到单位元

证明：即 $\forall a' \in G',a'f(e)=a'$
这里需要注意的是a'不一定有原像
$\because G\neq\emptyset$
$\therefore f(G)\neq\emptyset$
则取 $b\in f(G),\exists b'\in G,f(b')=b$
$a'f(e)=a'b^{-1}bf(e)=a'b^{-1}f(b')f(e)=a'b^{-1}f(b'e)$
$=a'b^{-1}f(b')=a'b^{-1}b=a'$

ii) $\forall a \in G, f(a^{-1}) = f(a)^{-1}$ ，即同态将a的逆元映射到 $f(a)$ 的逆元

证明： $\because f(a^{-1})f(a)=f(a^{-1}a)=f(e)=e'$
$f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(e)=e'$
$\therefore f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$ （逆元的定义）

iii) $f(G)= \{ f(a)|a\in G \}$ 是G'的子群，且f是满同态的充要条件是：f(G)=G'

证明.
令x=f(a), y=f(b) $\in$ f(G)，则 $xy^{-1}=f(a)f(b)^{-1}=f(a)f(b^{-1})=f(ab^{-1})$
由群的运算封闭性可知 $ab^{-1}\in G$ ，则 $f(ab^{-1})\in f(G)$
即 $xy^{-1}=f(ab^{-1})\in f(G)$
所以f(G)是G'的子群。
由满射的定义可知：f是满射的充要条件就是G'=f(G)

核子群： $kerf=\{ a | a\in G , f(a)=e' \}$ 是 $G$ 的子群，并且 $f$ 是单同态的充要条件是： $kerf=\{e\}$ ， $ker(f)$ 便称为核子群

定理：设 $f$ 是群G到群G'的同态，则 $ker(f)$ 是G的正规子群，反过来，如果N是群G的正规子群，则映射： $s:G\rightarrow G/N(a\mapsto aN)$ 是ker(f)=N的同态，并且s被称为G到G/N的自然同态。

证明： $\forall a\in G,b\in ker(f)$ 有，
$f(aba^{-1})=f(a)f(b)f(a^{-1})=f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(e)=e'$
$\therefore aba^{-1}\in ker(f)$
$\therefore ker(f)$ 是G的正规子群
反过来，设N是群G的正规子群，则G到G/N的映射s满足：
s(ab)=(ab)N=(aN)(bN)=s(a)s(b)，并且s(a)=N（这里需要注意对于商群G/N来说，单位元就是N）的充要条件是a $\in$ N，因此，s是核为N的同态。

同态分解（由一个同态映射得到一个同构映射）：设f是群G到群G‘的同态，则存在唯一的G/ker(f)到群f(G)的同构映射 $f':aker(f)\mapsto f(a)$ 。

证明.
同态:
设 $a,b\in G/ker(f)$
则 $\exists a',b'\in G$ 使得 $a=a'ker(f),b=b'ker(f)$
$f'(ab)=f'(a'ker(f)\cdot b'ker(f))$
$\because ker(f)$ 是G的正规子群
$\therefore f'(a'ker(f)\cdot b'ker(f))=f'((a'b')ker(f))=f(a'b')$
$=f(a')f(b')=f'(a'ker(f))f'(b'ker(f))=f'(a)f'(b)$
$\therefore f'$ 是同态
满射:
$\forall b\in f(a), \exists a\in G,$ 使得 $b=f(a)$ 。
设e'是G‘中的单位元，则 $f(a)=f(a)e',\forall c\in ker(f),f(a)=f(a)f(c)=f(ac)$
也就是说 $\forall b\in f(a)$ ，都可以写成 $f(ac)$ 对于任意的 $c\in ker(f)$
所以f(a)中的每个元素都在集合G/ker(f)有原像。
即f'是满射。
假设 $\exists a\ne b\in G/ker(f)$ ，则 $\exists a',b'\in G$
使得 $a=a'ker(f), b=b'ker(f)$
而 $f'(a'ker(f))=f(a'),f'(b'ker(f))=f(b')$
$\because a\ne b, a'ker(f)\ne b'ker(f)$
$\therefore$ 由陪集相等的条件可知: $a'b'^{-1}\notin ker(f)$ 即：
$f(a'b'^{-1})=f(a')f(b'^{-1})=f(a')f(b')^{-1}\ne e'$
$\therefore f(a')\ne f(b')$
即 $f'(a'ker(f))\ne f'(b'ker(f)), f'(a)\ne f'(b)$

并且可以得到一个映射转换关系： $f=i\cdot f'\cdot s$ ，其中s是群G到商群G/ker(f)的自然同态， $i:c\mapsto c$ 是f(G)到G'的恒等同态。即：
$G\stackrel{s}{\rightarrow}G/ker(f)\stackrel{f'}{\rightarrow}f(G)\stackrel{i}{\rightarrow}G'\stackrel{f}{\leftarrow}G$

群论的基本概念