群论的基本概念

代数系

定义:设S是一个非空集合，那么S与自身的笛卡尔积到S自身的映射就叫做S的结合法或运算 即：
S\times S\to S
(a,b)\mapsto c
这时，S叫做代数系。换句话说，对于一个集合S，如果在这个集合上的某种运算是封闭的(\forall a,b\in S,f(a,b)\in S)，那么就称S是这种运算的代数系。

群

代数系有时候也被称为广群，当一个广群满足某些条件的时候，便可以称作群
1.结合律
设S是具有一个运算的非空集合，如果对S中的任意元素a,b,c，在S上的运算都有：
(ab)c = a(bc)
则称该运算满足结合律。
2.单位元
设S是一个具有运算的非空集合，如果S中存在一个元素e；使得对S中的所有元素a都有：
ea = ae = a
则称该元素e为S中的单位元，通常记作e
3.可逆性
设S是一个具有运算并且有单位元的非空集合，设a是一个S中的元素，如果S中存在一个元素a'使得:
aa' = a'a = e
则称该元素a为S中可逆元，a'称为a的逆元，通常记作a^{-1}
4.群的定义：
设G是一个具有运算的非空集合，称G为一个群，如果G上的运算满足下面三个条件：
(i)结合律，即对\forall a,b,c \in G都有：
(ab)c = a(bc)
(ii)单位元，即\exists e使得\forall a\in G都有：
ae = ea = a
(iii)可逆元，即\forall a \in G, \exists a'\in G使得：
aa' = a'a =e
如果群G中的元素个数叫做群G的阶，记位|G|；当|G|为有限数的时，G叫做有限群，否则G叫做无限群。
换句话说，如果在集合G上的运算满足结合律，并且在该运算下G中存在单位元，并且G中的每个元素都有逆元，则称G是一个群。

证明：设S是一个具有运算的非空集合，则S中的单位元e是唯一的。
反证法，设e和e'都是S中的单位元，则根据单位元的定义可知：
e' = ee' = e

因此群的单位元是唯一的
5.交换律
设S是一个具有运算的非空集合S，如果\forall a,b \in G都有：
ab = ba
则称该运算满足交换律。
如果群G中的运算还满足交换律，那么则称这个群是交换群或者阿贝尔(Abel)群。

群的性质

定理：设n是正整数，如果a_1 = a_2 = \dots= a_n = a，则记a_1a_2\dots a_n = a^n，称为 a 的 n 次幂；特别地，定义a^0=e为单位元，a^{-n} = (a^{-1})^n逆元a^{-1}的n次幂。
性质：设a是群G中的任意元素，则对任意的整数m, n, 有:
a^ma^n=a^{m+n}, (a^m)^n=a^{mn}

子群

定义:设H是群G的一个子集合，如果对于群G的运算，H成为一个群，那么H就叫做群G的子群，记作H\le G
Notation:H={e}和H=G都是群G的子群，叫做群G的平凡子群；群G的子群H叫做群G的真子群，如果H不是群G的平凡子群。

证明：H是群G的子群，则G的单位元也是H的单位元
设 e是G的单位元，e‘是H的单位元. a\in H, \forall b \in G则有：
e'b = e'eb = e'a^{-1}ab = aa^{-1}b = eb = b
同理可得:be'=b
根据单位元的定义可知，e’也是群G的单位元
\therefore' e'=e，即群G的单位元也是群H的单位元

子群的判定定理:设H是群G的一个非空子集，则H是群G的子群的充分必要条件是：
\forall a,b \in H, ab^{-1}\in H

证明：充分性
因为H和G上的运算是相同的，所以不必再证明H上的运算的是否满足结合律
\because群G的单位元也是群H的单位元
\therefore e \in H，即H有单位元
又\because对于e\in H, \forall a\in H有，a^{-1}=ea^{-1}\in H(假设条件)
\therefore \forall a\in H, a^{-1}\in H即H中的每个元素都有逆元
所以H是G的子群
必要性
若H是一个群，则\forall b\in H, b^{-1}\in H
又由群的运算封闭性可知\forall a\in H, ab^{-1}\in H

陪集

陪集的定义:设H是群G的子群，a是G中任意元素，那么集合：
aH=\{ah|h\in H\}
叫做G中H的左陪集(相似的，可以定义G中H的右陪集Ha)，aH中的元素叫做aH的代表元，如果aH=Ha，则aH叫做G中H的陪集
需要注意的是，在陪集定义中的ah是指a和h在群G上定义的运算

实例：整数集合Z是一个对于加法运算构成一个群，设n>1，则H = nZ={n*k | k\inZ}是Z的子群，而子集：
a+H=\{ a+h|h\in H \}
而H=nZ,\space h=k\cdot n,\space k\in Z
所以a+H = a+nZ=\{a+k\cdot n|k\in Z\}
就是nZ的陪集，这个陪集就是模n的剩余类

陪集的性质:设H是群G的子群，则
i)对任意a\in G，有：aH=\{ c|c\in G,a^{-1}c\in H \}，
ii)对任意a\in H，有aH=H=Ha
判断陪集相等:对任意a,b\in G,aH=bH的充要条件是b^{-1}a\in H，相反的如果ab^{-1}\notin H，则aH\ne bH。

商集

商集的定义:设H是群G的子群，则H在G中不同左陪集组成的新集合
\{aH|a\in G\}，叫做H在G中的商集，记作G/H,即G/H=\{ aH|a\in G \}
而G/H中不同左陪集的个数叫做H在G中的指标，记为[G:H]

商集指标的性质:设H是群G的子群，则|G|=[G:H]|H|
更进一步，如果K,H是群G的子群，且K是H的子群，则
[G:K]=[G:H][H:K]，其中的每个指标都是有限的

拉格朗日推论:设H是有限群G的子群，则子群的阶|H|是群G的阶|G|的因数

正规子群

定义:设N是群G的子群，称N为群G的正规子群，如果N满足：
i)对任意a\in G，有aN=Na
ii)对任意a\in G，有aNa^{-1}=N
iii)对任意a\in G，有aNa^{-1}\subset N，其中aNa^{-1}=\{ana^{-1}|n\in N\}

证明：上面三条性质实质上是相互等价的
i)\rightarrow ii)
\forall b\in aNa^{-1},\exists n\in N使得b=ana^{-1}
ba=ana^{-1}a=an\in aN=Na
\therefore \exists n'\in N使得ba=n'a
\therefore b=n'\in N
\therefore aNa^{-1} \subset N
又\forall b\in N，有ba\in Na=aN
\therefore\exists n\in N使得ba=an
则baa^{-1}=ana^{-1}\therefore b=ana^{-1}
\therefore b\in aNa^{-1}
\therefore N\subset aNa^{-1}
综上所述aNa^{-1}=N
ii)\rightarrow i)
\forall b\in aN,\exists n\in N使得b=an
则ba^{-1}=ana^{-1}\in aNa^{-1}=N
即\exists n'\in N使得ba^{-1}=n'
\therefore ba^{-1}a=b=n'a\in Na
\therefore aN\subset Na
又\forall b\in Na,\exists n\in N使得b=na
ba^{-1}=naa^{-1}=n\in N=aNa^{-1}
\therefore \exists n' \in N使得ba^{-1}=an'a^{-1}
即naa^{-1}=an'a^{-1}
\therefore na=an'\in aN
\therefore Na\subset aN
综上所述aN=Na
ii)\leftrightarrow iii)显然成立

正规子群的性质:设N是群G的正规子群，G/N是由N在G中的所有左陪集组成的集合，则对于运算(aN)(bN)=(ab)N，G/N构成一个群.

同态与同构

定义:设G和G'都是群，f是G到G’的一个映射，若\forall a,b\in G有：
f(ab)=f(a)f(b)
则称f是G到G'的一个同态
需要注意的是，同态可称作保持运算的映射：
f(\underbrace{ab}_{G中的运算})=\underbrace{f(a)f(b)}_{G'中的运算}
如果f是单射，则称f为单同态；如果f是满射，则称f是满同态；如果f是双射，则称f为同构。

如果群G和G'之间存在一个同构映射，则称G和G‘是同构的，记为G\congG'
当G=G'的时候，同态f叫做自同态；同构f叫做自同构。
同态的性质：
i)f(e) = e'，即同态将单位元映射到单位元

证明：即\forall a' \in G',a'f(e)=a'
这里需要注意的是a'不一定有原像
\because G\neq\emptyset
\therefore f(G)\neq\emptyset
则取b\in f(G),\exists b'\in G,f(b')=b
a'f(e)=a'b^{-1}bf(e)=a'b^{-1}f(b')f(e)=a'b^{-1}f(b'e)
=a'b^{-1}f(b')=a'b^{-1}b=a'

ii)\forall a \in G, f(a^{-1}) = f(a)^{-1}，即同态将a的逆元映射到f(a)的逆元

证明：\because f(a^{-1})f(a)=f(a^{-1}a)=f(e)=e'
f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(e)=e'
\therefore f(a^{-1})=(f(a))^{-1}（逆元的定义）

iii)f(G)= \{ f(a)|a\in G \}是G'的子群，且f是满同态的充要条件是：f(G)=G'

证明.
令x=f(a), y=f(b)\inf(G)，则xy^{-1}=f(a)f(b)^{-1}=f(a)f(b^{-1})=f(ab^{-1})
由群的运算封闭性可知ab^{-1}\in G，则f(ab^{-1})\in f(G)
即xy^{-1}=f(ab^{-1})\in f(G)
所以f(G)是G'的子群。
由满射的定义可知：f是满射的充要条件就是G'=f(G)

核子群：kerf=\{ a | a\in G , f(a)=e' \}是G的子群，并且f是单同态的充要条件是：kerf=\{e\}，ker(f)便称为核子群

定理：设f是群G到群G'的同态，则ker(f)是G的正规子群，反过来，如果N是群G的正规子群，则映射：s:G\rightarrow G/N(a\mapsto aN)是ker(f)=N的同态，并且s被称为G到G/N的自然同态。

证明：\forall a\in G,b\in ker(f)有，
f(aba^{-1})=f(a)f(b)f(a^{-1})=f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(e)=e'
\therefore aba^{-1}\in ker(f)
\therefore ker(f)是G的正规子群
反过来，设N是群G的正规子群，则G到G/N的映射s满足：
s(ab)=(ab)N=(aN)(bN)=s(a)s(b)，并且s(a)=N（这里需要注意对于商群G/N来说，单位元就是N）的充要条件是a\inN，因此，s是核为N的同态。

同态分解（由一个同态映射得到一个同构映射）：设f是群G到群G‘的同态，则存在唯一的G/ker(f)到群f(G)的同构映射f':aker(f)\mapsto f(a)。

证明.
同态:
设a,b\in G/ker(f)
则\exists a',b'\in G使得a=a'ker(f),b=b'ker(f)
f'(ab)=f'(a'ker(f)\cdot b'ker(f))
\because ker(f)是G的正规子群
\therefore f'(a'ker(f)\cdot b'ker(f))=f'((a'b')ker(f))=f(a'b')
=f(a')f(b')=f'(a'ker(f))f'(b'ker(f))=f'(a)f'(b)
\therefore f'是同态
满射:
\forall b\in f(a), \exists a\in G,使得b=f(a)。
设e'是G‘中的单位元，则f(a)=f(a)e',\forall c\in ker(f),f(a)=f(a)f(c)=f(ac)
也就是说\forall b\in f(a)，都可以写成f(ac)对于任意的c\in ker(f)
所以f(a)中的每个元素都在集合G/ker(f)有原像。
即f'是满射。
假设\exists a\ne b\in G/ker(f)，则\exists a',b'\in G
使得a=a'ker(f), b=b'ker(f)
而f'(a'ker(f))=f(a'),f'(b'ker(f))=f(b')
\because a\ne b, a'ker(f)\ne b'ker(f)
\therefore由陪集相等的条件可知:a'b'^{-1}\notin ker(f)即：
f(a'b'^{-1})=f(a')f(b'^{-1})=f(a')f(b')^{-1}\ne e'
\therefore f(a')\ne f(b')
即f'(a'ker(f))\ne f'(b'ker(f)), f'(a)\ne f'(b)

并且可以得到一个映射转换关系：f=i\cdot f'\cdot s，其中s是群G到商群G/ker(f)的自然同态，i:c\mapsto c是f(G)到G'的恒等同态。即：
G\stackrel{s}{\rightarrow}G/ker(f)\stackrel{f'}{\rightarrow}f(G)\stackrel{i}{\rightarrow}G'\stackrel{f}{\leftarrow}G

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